二维随机变量

作者: 喜忧参半 | 来源:发表于2021-08-14 17:19 被阅读0次

例：研究某地区学齿受前儿童发育惰况对这-地区儿童进行抽查每个儿童测其身高H，体重W。
$S=\{e\}=\{某地区全部的学龄前儿童\}$
此时 $H(e),W(e)$ 都是定义在样本空间 $S$ 上的。
那么(H,W)构成了一个向量，H,W均是随机变量，这样就构成了关于e的二维随机变量(向量)。

二维随机变量的定义

定义设随机试验E的样本空间为 $S= \{ e \}.$ 设 $X=X(e),Y=Y(e)$ 是定义在 $S$ 上的随机变量，由它们构成的向量 $(X,Y)$ 称为二维随机向量或二维随机变量。
若 $X_1.X_2….X_n$ ,是定义在同一个样本空间 $S$ 上的 $n$ 个随机变量，则称 $(X_1,X_2,…,X_n)$ 是n维随机变量， $X_i$ ，称为第 $i$ 个分量。
研究思路:二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于它们二者的相互关系。
对于整体(X,Y):联合分布：联合分布律和联合概率密度，有共同的连和分布函数。
对于单独个体：对X,Y单独概率，就可以得到分别关于X,Y的边缘分布，然后可以考虑到X与Y之间的关系之间的条件分布。
对于一维随机变量，通常考虑
$F_X(x)= P\{X ≤ x\}\$
对于二维随机变量，通常要满足 $x,y=P\{(X≤x)∩(Y≤y)\}$ 实际上就定义了关于x,y的二元函数，实际上就是x,y分布函数，因此 $F(x,y)$ 称为二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数。

二维随机变量的(联合)分布函数

1.定义设(X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y，称二元函数
$F(x,y)=P\{(X≤ x)∩(Y≤y)\} =P\{X≤x,Y≤y\}$ 为二维随机变量(X,Y)的(联合)分布函数。
注: $F(x,y)$ 是事件 $A=\{X ≤x\}$ 和 $B=\{Y ≤y\}$ 同时发生的概率。

概率意义

如果将(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则
分布函数F(x,y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x, y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。

无穷矩形域

分布函数的性质：

（1）单调性：(固定其中一方，来研究)
固定y，当 $x_1≤x_2$ 时,研究 $F(x_1,y)与F(x_2,y)$
此时 $∵x_1≤x_2$ ， $∴P\{X≤x_1,Y ≤y\}⊆P\{X ≤x_2,Y ≤ y\}$ $P\{X ≤x_1,Y≤ y\}<P\{X ≤ x_2,Y ≤y\}$ 故 $F(x_1,y)≤ F(x_2,y)。$ 同理，
固定x，当 $y_1≤y_2$ 时,研究 $F(x,y_1)与F(x,y_2)$
此时 $∵y_1≤y_2$ ， $∴P\{X≤x,Y ≤y_1\}⊆P\{X ≤x,Y ≤ y_2\}$ $P\{X ≤x,Y≤ y_1\}<P\{X ≤ x,Y ≤y_2\}$ 故 $F(x,y_1)≤ F(x,y_2)。$
结论： $F(x,y)$ 是关于x和y的单调不减函数！
（1）有界性、极限性质：
有界性：
$F(x,y)= P\{X≤x,Y ≤y\},0≤F(x,y)≤1$
极限性质：
固定y: $\lim_{x \to -\infty}F(x,y)=0$
固定y: $\lim_{y \to -\infty}F(x,y)=0$
$\lim_{x,y \to -\infty}F(x,y)=0$
$\lim_{x,y \to +\infty}F(x,y)=1$
$\lim_{x \to +\infty}F(x,y)$ 无法确定
$\lim_{y \to +\infty}F(x,y)$ 无法确定
（3）右连续性：
$\lim_{x \to +x_0^+}F(x,y)=F(x_0,y)$ 关于x右连续
$\lim_{y \to +y_0^+}F(x,y)=F(x,y_0)$ 关于y右连续
（4）不等式性质：
对任意的 $x_1≤x_2，y_1≤y_2$
$P\{x_1≤X≤x_2,y_1≤Y ≤y_2\}$
$=P\{X≤x_2,Y ≤y_2\}- P \{X≤ x_2,Y ≤y_1\}$
$-P \{X≤ x_1,Y ≤y_2\}+P\{X≤x_1,Y ≤y_1\}$
$=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)≥0$

二维离散型随机变量

1.定义若二维随机变量 $(X,Y)$ 只能取有限对值或可列对值 $(x_1,y_1)，(x_2, y_2)…(x_n.y_n)$ ，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。
2.联合分布律:
称 $P\{X =x_i,Y =y_j\} = P_{ij}，i,j=1,2,…$ 为二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的(联合)分布律。

设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 $Y$ 在 $1～X$ 中等可能地取一整数值。试求 $(X,Y)$ 的分布律。
解： $P\{X =i\} ={1 \over 4} ,i=1,2,3,4$

X	Y	P
X=1	Y:1	$P\{Y=j\|x=1\} =1$
X=2	Y:1,2	$P\{Y=j\|x=2\}={1 \over 2}$
X=3	Y:1,2,3	$P\{Y=j\|x=3\}={1 \over 3}$
X=4	Y:1,2,3,4	$P\{Y=j\|x=4\}={1 \over 4}$

联合分布率：P(AB)=P(A)·P(B|A)(乘法公式)：
$P\{X=i\|Y=j\}=P\{X=i\}·P\{Y=j\|x=i\}={1 \over 4}$

0	1	2	3	4
1	${1 \over 4}$	${1 \over 8}$	${1 \over 12}$	${1 \over 16}$
2	$0$	${1 \over 8}$	${1 \over 12}$	${1 \over 16}$
3	$0$	$0$	${1 \over 12}$	${1 \over 16}$
4	$0$	$0$	$0$	${1 \over 16}$

联合分布函数

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=P_{ij}$ , $ij=1,2...,$
则 $(X,Y)$ 的联合分布函数为
$F(x,y)=P\{X≤x,Y≤y\} = \sum_{x_i≤x} \sum_{y_i≤y} P\{X =x_i,Y =y_i\}$
$=\sum_{x_i≤x} \sum_{y_i≤y}P_{ij}$ 其中和式是对一切满足的 ${x_i≤x},{y_i≤y}$ 的 $i,j$ 求和。

二维连续性随机变量

1.定义:对二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果
存在非负函数f(x,y),使得对任意x,y有
$F(x,y)={\int_{-\infty}^y}{\int_{-\infty}^x}f(u,v)dudv,[x,y∈(-\infty,+\infty)\ ]$
则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，记为 $(X,Y) \sim f(x,y)$ .

f(x,y)

的性质(二元函数f(x,y)是二维连续型随机变量的概率密度的充要条件)：
（1）

f(x,y)≥0

（2）

{\int_{-\infty}^{+\infty}}{\int_{-\infty}^{+\infty}}f(x,y)dxdy=1

2.联合分布函数、联合概率密度函数性质:
设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),概率密度为f(x,y),则：
（1）

F(x,y)

是(x,y)的二元连续函数；

(2)在

f(x,y)

的连续点处,有

{∂^2F(x,y)\over ∂x∂y}=f(x,y)

(3)若

F(x,y)

可导，则

(X,Y)

是二维连续型随机变量，且

{∂^2F(x,y)\over ∂x∂y}

是它的一个概率密度；

(4)设G是平面上的某个区域，则
$P\{ (X,Y)∈ G \} \ = \iint_Gf(x,y)dxdy.$
[注]这是计算概率，及求随机变量函数的分布的依据.

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
$f(x,y)=\begin{cases} ce^{-(2x+y)} &， x>0,y>0 \\ 0 &，其他 \\ \end{cases}$ (1)求常数c;
(2)求分布函数 $F(x,y)$ ;(3)求概率 $P\{Y≤X\}$

(1):解：由于 $f(x,y)≥0,$ 故 $ce^{-(2x+y)} ≥0$ ,
又因为 $x>0,y>0$ ,因此 $C≥0.$
由 $f(x,y)$ 的性质可知：
${\int_{-\infty}^{+\infty}}{\int_{-\infty}^{+\infty}}f(x,y)dxdy=1$ ，从而满足
${\int_{0}^{+\infty}}{\int_{0}^{+\infty}}ce^{-(2x+y)}dxdy=1$
$=c{\int_{0}^{+\infty}}e^{-y}dy{\int_{0}^{+\infty}}e^{-2x}dx$
$=c[\lim_{y \to +\infty}(-e^{-y})+1][\lim_{x \to +\infty}(-{1 \over 2}e^{-2x})+1]$
$={1 \over 2}c,$ 因此， $c=2.$

(2) 解：
$F(x,y)={\int_{-\infty}^y}{\int_{-\infty}^x}f(u,v)dudv=P\{ X≤x,Y≤y\}$
题中, $(x,y)$ 位于第二,三,四象限时 $F(x,y)=0.$
而当(x,y)位于第一象限时， $x>0,y>0$
$F(x,y)={\int_{0}^y}{\int_{0}^x}f(u,v)dudv={\int_{0}^y}dv{\int_{0}^x}2e^{-(2u+v)}du$ $={\int_{0}^y}e^{-v}dv{\int_{0}^x}2e^{-2u}du=(1-e^{-y})(1-e^{-2x})$
综上所述：
$f(x,y)=\begin{cases} (1-e^{-y})(1-e^{-2x})&， x>0,y>0 \\ 0 &，其他 \\ \end{cases}$

(3)解：求 $P\{Y≤X\}$
因为 $(X,Y)$ :平面上随机点坐标，
$\{Y≤X\}=\{ (X,Y)∈G\}$
表示点落到纵坐标小于等于横坐标的部分的概率。
设这一块区域为D，那么
$P\{Y≤X\}=\iint_Df(x,y)dxdy={\int_{0}^{+\infty}}dx{\int_{0}^x}2e^{-(2x+y)}dy$ $=2{\int_{0}^{+\infty}}e^{-2x}dx{\int_{0}^x}e^{-y}dy={1 \over 3}$

N维随机变量

定义：设随机试验E的样本空间为S={e}。设 $X_1=X_1(e),X_2=X_2(e)，…，X,=X_n(e)$ 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量 $(X_1,X_2,…X_n.)$ 叫做n维随机向量或n维随机变量。
对任意的n个实数 $(X_1,X_2,…X_n)$ ,n元函数 $F(X_1,X_2,…X_n)=P\{ X_1 ≤x_1,X_2 ≤x_2…,X_n ≤ x_n\}$
称为n维随机变量 $(X_1,X_2,…X_n)$ 的分布函数。【注】：与二维随机变量的分布函数的性质类似。

二维随机变量

二维随机变量的定义

二维随机变量的(联合)分布函数

概率意义

分布函数的性质：

二维离散型随机变量

联合分布函数

二维连续性随机变量

N维随机变量

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