线性代数的本质

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1. 序言
   • 培养线性代数的几何空间直觉
2. 向量究竟是什么
   • 向量是空间的箭头，是有序的数字列表，是能满足相加和数乘的一切对象
3. 线性组合、张成的空间与基
   • 数字描述向量，依赖于他们所属的基
   • 向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量的集合
4. 矩阵与线性变换
   • 线性变换是操纵空间的一种手段
   • 二维线性变换可以由变换后的基向量的两个坐标决定，矩阵则以这些坐标为列所构成
5. 矩阵乘法与线性变换复合
   • 一个矩阵就完成了一次线性变换，矩阵相乘就是线性变换的叠加
6. 三维空间中的线性变换
7. 行列式
   • 线性变换造成单位面积正方形的变化比例
8. 逆矩阵、列空间与零空间
   • 秩表示变换后的空间维度
   • 列空间表示矩阵的列张成的空间
   • 零空间（又叫核）表示线性变换后落在原点的向量的集合
9. 非方阵
   • 三维空间的二维平面，二维空间的三维投影
10. 点积与对偶性
    • 两个向量点积就是将一个向量转化为线性变换
11. 叉积的标准介绍
12. 以线性变换的眼光看叉积
13. 基变换
    • 向量的另一种表述：表示为基向量缩放后求和
    • 在不同坐标系之间对单个向量的描述进行相互转化
14. 特征向量与特征值
    • 特征向量：线性变换后自身张成空间不变的向量
    • 特征值：特征向量的伸缩比
    • 特征基：特征向量作为基向量
    • 对角矩阵：所有基向量都为特征向量，对角元为特征值
    • 如何在新坐标系上表述当前坐标系的线性变换？
    
15. 抽象向量空间