众所周知，阿基米德计算圆周率的方法是采用外切正多边形和内接正多边形两个方面逼近的。也就是说圆的周长比内接正多边形大一些，比外切多边形小一些。这一点直观上是这样的。事实上也是这样的。他先用无限分割的方法，证明了圆的面积等于一个直角三角形，它一直角边是圆的半径，一直角边是圆的周长。刘徽的方法也是这样，先证明“半周半径相乘得积步”，就是说周长的一半与半径相乘，得到圆的面积。
其中的逻辑，涉及到面积和长度，如果采用计算面积的方法来看，会更加直观。明显，圆比其外切多边形小，比内接多边形大。使用长度，与使用面积计算是等效的。阿基米德计算的是长度，更准确的说是长度的比，也就是比例。刘徽计算的是面积。这种等效的原理，从刘徽计算面积的方法可以看出来：刘徽在计算 2N 边形的面积时，直接采用 N 边形的边长。
两者相同的地方：先证明圆的面积公式
不同的地方：阿基米德计算边长，刘徽计算面积。
阿基米德一开始，就给出一个惊人的结论，
3的平方根 大于 265/153
为什么说这个结论惊人呢？因为没有任何推导，直接就给出来了。而作为他的学生，证明这一点又很容易。希腊人喜欢比例，喜欢分数，那个年代也许还不流行小数。那么，这个分数的精度如何呢？小数点后面4位都是一样的，到第5位才大一点点。
3的平方根是 1.732050807... ，而 265/153的值是 1.73202614379084967320261...
没有推导，直接给出结果是惊人的。我也不推导，给出一个近似值，
2011930833870518011412817828051050497 / 1161588808526051807570761628582646656
但我不告诉你，这个数是比3的平方根大还是小，你能验证吗？我猜你用计算器也不能判断。
所以我说，阿基米德是惊人的。阿基米德不告诉你，这样的分数是怎样推导来的。因为，只有自己去努力学习，得来的才会珍惜。“若将容易得，便作等闲看”。阿基米德应该是这样教育学生的，所以，不说怎样得到。
上面的太长，还是给一个短些的吧
708158977 / 408855776
只告诉你是近似值，不告诉你是大还是小。
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