一个有意思的事情，写个程序输出从1到N的全排列。我们知道数学公式有N!种排列。但是计算机程序如何数出来呢。
可以用递归的思想解决这个问题。递归要有递归公式和退出条件。

• N=1
  排列：[1]
• N=2
  排列：[12] [21]
• N=3 : [123] [312] [213] [321] [132] [231]
  ...
• 递归公式推导
  假设排列1:N为af(N)，我们现在要导出af(N)和af(N-1）的关系（公式）。
  首先比较下af(3)和af(2)的差别，不难总结：
  af(3) = 交换顺序（af(2)，3），取并集（将3插入到af(2)各种排列不同的位置）
  换成N，即：
  af(N)=swap(af(N-1),N) U (instert(af(N-1),N)
  递归退出条件就是N=1和2.
  具体实现，这里使用R语言实现。

实现交换函数

swapf <- function(x,y){
  # x, y vector
  list(c(x,y),c(y,x))
}

• 执行实例

swapf(1,2)
[[1]]
[1] 1 2

[[2]]
[1] 2 1
swapf(1:2,3:4)
[[1]]
[1] 1 2 3 4

[[2]]
[1] 3 4 1 2

实现插入函数

insertf <- function(x,y){
  # x vector,and  y vector whith length one.
  len = length(x)
  if(len == 1) swapf(x,y) -> rt
  if(len >= 2){
    rt = list()
    for(i in 1:(len-1)){
      tmp = c(x[1:i],y,x[(i+1):len]);#print(tmp)
      rt <- c(rt, list(tmp))
  }
  }
  rt
}

• 执行实例

insertf(1:3,5)
[[1]]
[1] 1 5 2 3

[[2]]
[1] 1 2 5 3
insertf(1:3,5:6)
[[1]]
[1] 1 5 6 2 3

[[2]]
[1] 1 2 5 6 3

实现递归公式

af<-function(n){
  if(n==1) return(list(1)) # 递归退出条件
  if(n==2) return(swapf(1,2)) # 递归退出条件
  lapply(af(n-1), swapf,n)  %>% unlist(recursive = F) %>% c(sapply(af(n-1),insertf,n))
}

• 执行实例

af(1)
[[1]]
[1] 1

> af(2)
[[1]]
[1] 1 2

[[2]]
[1] 2 1

> af(3)
[[1]]
[1] 1 2 3

[[2]]
[1] 3 1 2

[[3]]
[1] 2 1 3

[[4]]
[1] 3 2 1

[[5]]
[1] 1 3 2

[[6]]
[1] 2 3 1

> af(4)
[[1]]
[1] 1 2 3 4

[[2]]
[1] 4 1 2 3

[[3]]
[1] 3 1 2 4

[[4]]
[1] 4 3 1 2

[[5]]
[1] 2 1 3 4

[[6]]
[1] 4 2 1 3

[[7]]
[1] 3 2 1 4

[[8]]
[1] 4 3 2 1

[[9]]
[1] 1 3 2 4

[[10]]
[1] 4 1 3 2

[[11]]
[1] 2 3 1 4

[[12]]
[1] 4 2 3 1

[[13]]
[1] 1 4 2 3

[[14]]
[1] 1 2 4 3

[[15]]
[1] 3 4 1 2

[[16]]
[1] 3 1 4 2

[[17]]
[1] 2 4 1 3

[[18]]
[1] 2 1 4 3

[[19]]
[1] 3 4 2 1

[[20]]
[1] 3 2 4 1

[[21]]
[1] 1 4 3 2

[[22]]
[1] 1 3 4 2

[[23]]
[1] 2 4 3 1

[[24]]
[1] 2 3 4 1