《微分方程与动力系统（Differential Equation

作者: 韧心222 | 来源:发表于2023-12-10 21:33 被阅读0次

为了深入理解fMRI分析的原理，还是要学习一些微分方程与动力系统的东东，这是我的学习笔记，内容还没有很好的整理。

视频在这里1-Differential Equations and Dynamical Systems Overview_哔哩哔哩_bilibili

课程的原始地址在这里：ME 564 - Mechanical Engineering Analysis (washington.edu)

17. 2x2 阶ODEs源与汇

17-2x2 Systems of ODEs Sources and Sinks_哔哩哔哩_bilibili

此处的源（source）我理解是系统的固定点（fixed point）当系统处于其他状态时，由于系统是不稳定的，因此会向其他方向(可以理解为向相平面上的其他状态进行转移)发散。
如下图所示，圆球是可以立于另一个球的顶端的，但是当球处于其他位置时，会迅速滚走。最顶点的平衡状态，即可认为是系统的source。

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此处的汇（sink）我理解是系统的稳定点，当系统处于其他状态时，会迅速的向稳定点状态运动。

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$\underline{\dot x} = A \underline{x}$

若
$A= \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$
则
$T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$
$D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4\\ \end{bmatrix}$
$T^{-1} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & -0.5\\ \end{bmatrix}$

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如图所示，图中的黑色坐标为 $\underline{x}$ 的坐标，蓝色的表示两个特征向量的方向，在这两个方向上，得到的 $\underline{z}$ 是彼此解耦的，在 $(1,1)$ 方向上的运动速度是在 $(1,-1)$ 方向上速度的 $\frac{1}{2}$ （特征值是2倍的关系）

18. 2x2系统的ode鞍点及其不稳定性

18-2x2 Systems of ODEs Saddle Points and Instability_哔哩哔哩_bilibili

此处建议看视频，了解一下鞍点的含义

19. 2x2 ode的虚特征值和中心不动点

19-2x2 Systems of ODEs Imaginary Eigenvalues and Center Fixed Points_哔哩哔哩_bilibili

特征值的实数部分给出了增加或减少的趋势，特征值的虚部则代表了周期震荡

20. 特征值与稳定性

20-Stability and Eigenvalues What does it mean to be a stable eigenvalue_哔哩哔哩_bilibili

任意特征值的实数部分 $Re(\lambda)>0$ 则，系统不稳定；若所有 $Re(\lambda)<0$ ，则系统稳定。

21. 线性微分方程

21-What is a Linear Differential Equation_哔哩哔哩_bilibili

线性的定义为：
$f(\alpha x+ \beta y)=\alpha f(x)+ \beta f(y)$

22. 非线性微分方程在固定点附近的线性化

22-Linearizing Nonlinear Differential Equations Near a Fixed Point_哔哩哔哩_bilibili

非线性系统是一个比较复杂的问题，我们一般采用首先找到其固定点，之后在固定点附近进行线性化处理。

对于微分方程：
$\dot x = f(x)$
对于任意点 $\overline x$ 而言，若 $f(\overline x) = 0$ ，则 $\overline{x}$ 是一个固定点。

对于 $\overline x$ 附近的点 $x=\overline x + \Delta x$ ，则利用泰勒公式展开可得：

$\begin{align} \dot x = f(x) =&f(\overline x+\Delta x) \\ =&f(\overline x) + \frac{Df}{Dx}( \overline x )\Delta x + \frac{D^2f}{Dx^2}( \overline x)\Delta x^2 + \cdots \end{align}$

与此同时，考虑到：
$\begin{align} \because& f(\overline{x}) = 0 \\ \therefore& \dot x \approx \frac{Df}{Dx}( \overline x )\Delta x \\ \therefore& \dot x = \frac{d}{dt}( \overline x+\Delta x) = \frac{d}{dt}\Delta x=\frac{Df}{Dt}(\Delta x) \end{align}$

此处得到了一个关于 $\Delta x$ 的线性常微分方程，已知：

$\frac{Df}{Dx}= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{x_1} & \frac{\partial f_1}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{x_n}\\ \frac{\partial f_2}{x_1} & \frac{\partial f_2}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{x_1} & \frac{\partial f_n}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{x_n}\\ \end{bmatrix}$

一个例子，已知：
$\underline {f}(\underline x)= \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2) \\ f_2(x_1, x_2) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1-x_1^2 \\ x_1+x_2 \\ \end{bmatrix}$
所以固定点为
$\overline x = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}， \overline x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$