例题

例2.10（华中科技大06，东南大学04，南京师范10）设 $A，B$ 分别为 $m，n$ 阶方阵，证明 $A，B$ 无公共特征值的充要条件为满足 $AX=XB$ 的矩阵 $X$ 只能是零矩阵。
例2.13设 $A，B，C$ 为 $n$ 阶方阵， $AC=CB，r（C）=r$ .则 $A，B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因子，即 $A，B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（重根按重数计算）.进而，若 $A，B$ 无相同特征值，则 $C=0$ .
例2.18设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间， $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{s}$ 是V的线性变换。证明：若 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{s}$ 两两可换，则 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{s}$ 至少有一个公共特征向量.
例2.19设 $f，g$ 是复 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $fg-gf=f$ .证明：
（1） $f$ 的特征值全为 $0$ ；
（2） $f$ 与 $g$ s必有公共的特征向量。
例2.21设 $\sigma,\tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，且 $dim Im\sigma+dim Im\tau<n$ 则 $\sigma,\tau$ 有公共的特征值与特征向量.
例2.23（聊城大学2012）设 $A，B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A+B=AB$ ，求证
（1） $（A-E）^{-1}=B-E$ .
（2） $AB=BA$ .
（3） $r（A）=r（B）$ .
（4） $A，B$ 的特征值向量是公共的.
（5） $A$ 相似于对角矩阵，当且仅当 $B$ 相似于对角矩阵.
例2.25设 $A，B$ 是两个 $n$ 阶方阵， $r（AB-BA）≤1$ .证明： $A，B$ 有公共的特征向量.