微积分学习笔记-积分法则：替换积分法

作者: LonnieQ | 来源:发表于2019-11-25 09:39 被阅读0次

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不定积分法则

常倍数法则: $\int kf(x) dx = k\int f(x) dx$ (k不依赖于x)
负法则: $\int -f(x) dx = -\int f(x)dx$
和与差法则: $\int [f(x)\pm g(x)dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

例1 改写积分常数

$\int 5 sec(x)tan (x) dx = 5\int sec(x)tan(x)dx = 5 sec(x) + C$

例2 求积分 $\int (x^2 - 2x + 5) dx$

$\int (x^2 - 2x + 5) dx = \int x^2dx - \int 2xdx + \int 5dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 5x + c$

例3 求 $sin^2(x)$ 和 $cos^2(x)$ 的积分

$\int sin^2(x) dx = \int \frac{1 - cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 -cos(2x)) dx = \frac{1}{2}x - \frac{sin(2x)}{4} + C$
$\int sin^2(x) dx = \int \frac{1 + cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 +cos(2x)) dx = \frac{1}{2}x + \frac{sin(2x)}{4} + C$

微分形式的幂法则

如果u是任一可微函数，则 $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C (n \not = -1, n为有理数)$

例4. 使用幂法则

$\int \sqrt {1 + y^2}. 2y dy = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \frac{2}{3} (1+y^2)^{\frac{3}{2}} + C$

例5. 用一个常数调整积分

$\int \sqrt {4t - 1} dt =\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} du (令u = 4t - 1)= \frac{1}{4} * \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{6} + C = \frac{(4t-1)^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

替换积分法

当f和g'都是连续函数时，为求积分 $\int f(g(x))g'(x)dx$ ，采用以下步骤。

作替换 $u = g(x)$ , 则 $du = g'(x)dx$ , 得到积分 $\int f(u)du$ .
对u积分
结果用g(x)替代u

例6 解 $\int cos(7\theta+5)d\theta$

令 $u = 7\theta+5$ , 得
$\int cos(7\theta+5)d\theta =\frac{1}{7} \int cos(u) du = \frac{1}{7} sin(u) + C = \frac{1}{7}sin(7\theta+5) + C$

例7 用替换法解 $\int x^2 sin(x^3) dx$

令 $u=x^3$ , 得
$\int x^2 sin(x^3) dx = \frac{1}{3} \int sin(u) du = \frac{1}{3}(-cos(u))+C = -\frac{1}{3} cos(x^3)+C$

例8. 解 $\int \frac{1}{cos^2(2x)}dx$

令u = 2x, 得:
$\int \frac{1}{cos^2(2x)}dx= \int sec^2 (2x) dx$
$= \frac{1}{2}\int sec^2(u) du = \frac{1}{2} tan(u) + C$
$= \frac{1}{2} tan(2x) + C$

例9. 求积分 $\int \frac{2z}{\sqrt[3] {z^2 + 1}}$

令 $u = z^2 + 1$
$\int \frac{2z}{\sqrt[3] z^2 + 1} = \int \frac{du}{u^{\frac{1}{3}}}$
$= \int u^{-\frac{1}{3}}du = \frac{2}{3} u ^{\frac{2}{3}} + C$
$=\frac{2}{3}(z^2+1)^{\frac{2}{3}} + C$

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