微积分学习笔记-定积分的变量替换

作者: LonnieQ | 来源:发表于2019-11-26 09:48 被阅读0次

变量替换公式

$\int_a^bf(g(x0).g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$
使用方式: 作替换 $u= g(x), du = g'(x) dx，并以g(a)到g(b)积分。$
例1. 求定积分 $\int_{-1}^{1} 3x^2\sqrt {x^3+1} dx$
令 $u=x^3+1$ , $du=3x^2dx$ , 当x=-1时, u = 0; 当x=1时，u=2。
$\int_{-1}^{1} 3x^2\sqrt {x^3+1} dx = \int_0^2 \sqrt {u} du = [\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}]_0^2 = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

定义曲线之间的面积

若f和g连续并在[a, b] 上 $f(x) \ge g(x)$ ,则在从a到b的曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 之间的区域面积上 $[f - g]$ 从a到b的积分
$A = \int _a^b [f(x) - g(x)]dx$

如何求两条曲线之间的面积?

画曲线的图并画出一个典型矩形，这能显示出哪条曲线时f(上曲线)和那条曲线时g(下曲线).
求积分限
写出 $f(x) - g(x)$ 的表达式
从a到b积分 $[f(x) - g(x)]$ , 得到的数就是面积

例2. 求抛物线 $y = 2-x^2$ 和直线 $y=-x$ 所围区域的面积。

为了方便大家理解，这里使用python的numpy和matplotlib绘制图形。

绘制代码如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-3, 3, step=0.01)
fx = 2 - np.power(x, 2)
gx = -x
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) = 2 - x^2')
plt.plot(x, fx)
plt.show()

可以看的出 $f(x)=2-x^2$ 为上界, $g(x) = -x$ 为下界。令 $f(x) = g(x)$ , 得 $x^2 - x - 2 = (x +1)(x-2) = 0$ , $x = -1或x = 2$ 。 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的相交点为 $(-1, 1)$ 和 $(2, -2)$ 。
计算这里的曲线面积
$A = \int _{-1}^2 [2 - x^2 + x] dx$
$= [2x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_{-1}^2$
$= \frac{9}{2}$

例3. 求由抛物线 $y=2-x^2$ 和直线 $y=-x$ 所围区域的面积。

使用如下代码绘制函数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(0, 6, step=0.01)
fx = np.sqrt(x)
gx = x - 2
plt.axis([0, 4, 0, 4])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.plot(x, fx, label = 'f(x) = √x')
plt.plot(x, gx, label ='g(x) = x - 2')
plt.legend()
plt.show()

得到:

g(x)和x轴的交点为，g(x)和f(x)的交点为, 由图形可以看出这里的面积分为两个区域计算:[0, 2]区域的面积A1和[2, 4]区域的面积A2.

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