2019-11-29 凸优化proximal

prox

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线性映射下一个集合C的像 AC是闭的一个充分条件：

C是闭且凸的，C里没有A零空间向量的射线，也就是

一个推论是：如果C是闭且凸且有界，那么AC是闭的。

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闭函数：如果f满足以下等价的条件那么它是闭的:

epigraph 是闭集；每个sublevel set是闭集

连续函数下的两个判断准则：

1，如果f连续并且dom f是闭的，那么f是闭的

2，如果f连续并且dom f是开的，那么f是闭的仅当并且对于每一列趋向于边界点的都有趋向于无穷。

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闭函数判断有没有最小值点：
如果f是闭的并且每个sublevel都是有界的（所以是紧的），那么f是有最小值的。

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保持闭的映射：

1，如果f和g都是闭的，且dom的交集非空，那么f+g也是闭的。

2，与仿射变换的复合也是闭的：

3，每个f都是闭的那么也是闭的。

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共轭函数：

每个都是闭且凸的函数，无论f是不是。

一些常见函数的共轭函数：

  的共轭函数是：

 

 

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两重共轭：

对于任意的f ，都是闭且凸的。而且有以下两个关系式：

如果f是闭且凸的，那么就有：

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共轭函数一些运算规则：

 

 

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Proximal mapping （如果f是Rn到R， prox 就是Rn到Rn）

如果f 是闭且凸的，那么就是存在且唯一的。

（存在性利用：是闭且凸函数而且每个sublevel是有界的。 同时这个函数强凸。）

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一些特殊函数的prox：

   

    

   

 

   

加上线性函数：

加上二次函数：

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Moreau 分解