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线性代数之——行列式及其性质

线性代数之——行列式及其性质

作者: seniusen | 来源:发表于2018-11-26 21:18 被阅读70次

方阵的行列式是一个数字,这个数字包含了矩阵的大量信息。首先,它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话,矩阵就没有逆矩阵。当 A 可逆的时候,其逆矩阵 A^{-1} 的行列式为 1 / det(A)

行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组,但是我们很少这样做,因为消元会更快。

对于上述矩阵,如果行列式 ad-bc 为零的话,我们不能除以零,也就是没有逆矩阵。其主元为 ad - (c/a)b主元的乘积就是行列式的值

行列式有三个基本的性质,由这三个性质我们可以计算任意方针的行列式, A 的行列式记作 det(A) 或者 |A|

  • 性质 1: det \space I = 1,单位矩阵的行列式为 1 ,与之对应的是单位立方体的体积是 1。
  • 性质 2: 当两行进行交换的时候行列式改变符号。

由这个性质,我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式,置换矩阵都是由单位矩阵演化而来,当有奇数次行交换时,det \space P = -1;当有偶数次行交换时,det \space P = 1

  • 性质 3: 行列式是单独每一行的线性函数(其它行不变)。

若某一行乘以 t,行列式就也乘以 t。如果某一行加上另一行,行列式就也相加。

这不意味着 2I = 2 det\space I2I 是对其中的每一行都乘以 2,因此要乘以 2^n

这就像面积或者体积一样,长方形的长和宽都变为原来的 2 倍的话,面积就会变为 4 倍。

  • 性质 4: 当矩阵中有两行一样的话,det(A)=0

利用性质 2,我们对这两行进行行交换,矩阵仍然保持不变,但其行列式需要变号,那么行列式只能为零。

  • 性质 5: 用矩阵的一行减去另一行的倍数,行列式不变。

\begin{vmatrix}a&b\\ c-\lambda a&d-\lambda b\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\ c &d \end{vmatrix} -\lambda \begin{vmatrix}a&b\\ a& b\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a&b\\ c &d \end{vmatrix}

在消元的过程中,行列式不会改变,如果有行交换的话,符号不同,因此有 det \space A = \pm det \space U

  • 性质 6: 当矩阵的某一行全为零的时候,行列式为零。

利用性质 5,将全零行加上另外一行。

\begin{vmatrix}a&b\\ 0&0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\ a& b\end{vmatrix} =0

  • 性质 7: 如果矩阵是三角形的,那么行列式等于对角线上元素的乘积。

利用性质 5,我们可以将对角线上面或者下面的元素通过消元法全部变成 0,这不会改变行列式的值。然后,矩阵就只有对角线上有非零值,我们再利用性质 3 将每行的系数提取出来,矩阵就变成了单位矩阵。

  • 性质 8: 如果矩阵是可逆的那么 det(A)\not=0,反之 det(A)=0

消元过程会让 A 变为 U,如果 A 是不可逆的,那么 U 中一定有全零行,其行列式为零。如果 A 是可逆的,那么 U 中的对角线为主元,其行列式为对角线的乘积,也即主元的乘积。

如果 PA=LU,那么有 |P| \space |A| = |L| \space |U|L 为对角线上为 1 的下三角矩阵,因此有 det \space L = 1,而 det \space P = \pm 1,所以 |A| = \pm|U|

  • 性质 9: |AB| = |A||B|

det(AA^{-1}) = det \space I = 1 \to det \space A^{-1} = \frac{1}{det \space A}

一个简单的证明过程如下所示:

  • 性质 10: 转置矩阵的行列式不变,det \space A^{T} = det \space A

|P| \space |A| = |L| \space |U| \leftrightarrow |P^T| \space |A^T| = |L^T| \space |U^T|

对比以上两项,置换矩阵的逆等于转置,所以有 |P||P^T|=1,因此它们同时为 1 或者 -1。对三角矩阵的转置不影响其对角线元素,因此行列式不变,所以有 |L| =|L^T|,|U| =|U^T|,所以有 |A| =|A^T|

因此,任意应用于矩阵的行的性质都可以同时应用到矩阵的列上去

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