2017-12-10

三．有理数系

1．有理数的定义

      在整数系中，若a·b＝c，则c能被a或者b整除，即a＝c/b，或者b＝c/a．显然a·b＝(c/b)·b＝(c/a)·a＝c。在整数系中除法是乘法的逆运算，现设一个数x与b(b不等于0)的乘积为a，即方程bx＝a(b不等于0)的唯一解定义为x＝a/b，显然若b不能整除a，则x在整数系中找不到解，因此必须把整数系扩充才能找到这样的数，我们把这样的数叫有理数，当然有理数包括了整数．

      定义：对于任给整数a和b(b不等于0)定义有理数“a/b”为方程bx＝a的唯一解．显而易见它也是(kb)x＝ka的解，所以a/b＝ka/kb．为了保证有理数系的加法、乘法运算依然保持交换、结合和分配律规则，定义其运算规则是：对于任意整数a、b、c、d有a/b＋c/d＝(ad＋bc)/bd；a/b·c/d＝ac/bd；ac/bc＝a/b(b、c、d都不为0)．在有理数系中，我们还定义：(－1)·(－1)＝1；(－1)·(＋1)＝1；0·a＝0·b＝0；a/0、b/0无意义。以上这些定义都是人类创造的，是公理，是与客观事实相符的。有理数的运算法则是我们进行代数运算的根本。