关于三门问题的思考

三门问题是一个很有名的跟概率有关的问题，问题是这样的，在一个电视节目中，有三道门，其中两道门的背后各有一匹羊，另外的一道门后是一辆车，当现场观众指定一道门后，主持人会把另外两道门中的一道门打开，里面是一匹羊，现在给你一次换门的机会，应该是换还是不换？

正确的解答是应该换，计算过程如下,

根据全概率公式：

P(不换门选中车)=P(不换门后选中车|一开始选中车）*P(一开始选中车)+P(不换门后选中车|一开始选中羊)*P(一开始选中羊)=1*1/3+0*2/3=1/3

P(换门后选中车)=P(换门后选中车|一开始选中车）*P(一开始选中车)+P(换门后选中车|一开始选中羊)*P(一开始选中羊)=0*1/3+1*2/3=2/3

显然换门后选中车的概率比不换门要高，所以应该选择换门。

一个比较有迷惑性的错误解答是这样的，

车 羊 羊

1  2  3

1  3  2

3  1  2

3  2  3

(1-玩家第一次选择；2-主持人选择；3-玩家第二次选择。)

换门后，中奖率由1/3提高到了1/2。

这个解答错误的原因是认为这四个事件（123，132，312，323）是等可能的，但事实上，前两者的概率分别是1/3*1/2=1/6，后两者的概率分别是1/3*1=1/3，所以换门后中奖率是1/3+1/3=2/3。

在生活中很多人会默认在样本空间中发生的各个事件是等可能的，例如某个篮球运动员的某次投篮，有射中以及不中两种可能（就也是有两个事件），但显然我们不能认为他投中的概率就是50%，因为这两个事件发生的可能性并不相等。