看到了一道椭圆积分的题目,想起来很久之前下载的椭圆函数论,就看了看。突然发觉,当时感觉高深的内容很普通,甚至于有些无聊。
双周期函数,椭圆函数其实就是双周期函数,可能会觉得很奇怪,单周期,双周期有啥区别?区别就是复数域上的函数,可以有双周期。主要是这个理论年代比较久远了,当时对于函数的定义并不像现在这么普遍,更多的还是实函数,复函数之类的。往往也看不见集合论的踪影。集合论作为数学基础改写所有的教材是二十世纪的事情。这时候椭圆函数早已经过时了。后来在代数数论中又被捡起来了,模形式,自守形式之类的东西,费马大定理的证明推动了他的再次兴起。按现在的理解,椭圆函数比较容易把握。
我看这书上也没有用到群论的语言,所以还是用函数变换的观点说明函数形式的概念。这就想起来特殊函数论的东西,他们没有融合现代抽象代数的内容,还是按照以前解析函数论的那一套搞,无穷级数展开,无穷乘积展开,路径积分,留数定理,零极点表示。在形式上非常繁琐,不过也有好处,很具体,现在的观点,估计上来就定义一个椭圆函数空间,然后定义这个空间上的自同构作为函数变换,然后考虑函数空间的基,表示,估计还能引进泛函,获得对偶空间的结果。泛函从线性拓展到高阶,变换也可以从基本变换变成高次变换。引进微分方程的内容。
不过,椭圆函数终究还是不太一样的,他是低次数的非线性函数,也算不上多项式函数,虽然现在的泛函分析动不动就是连续函数空间,平方可积空间,但是具体的函数,他是不关注的。只是,现在比较尴尬,椭圆函数很重要,但是又不重要,相比于应用数学而言,偏向于纯粹数学,但是纯粹数学对他不感兴趣。反而是应用数学未来考虑非线性的话是肯定要涉及这一块的。毕竟线性近似无法完美逼近,总会留下模糊地带。
具体的内容,主要是讲了椭圆函数的几大种类,雅可比,魏尔斯特拉斯,西塔函数,介绍了他们的互相表示方法,然后是各种常用表示,无穷级数,无穷乘积,零极点,积分,导数。然后就是变换,从一种参数转化为另一种参数,应用,在什么场合下会出现椭圆函数,椭圆函数与椭圆积分的关系。与之前的印象不同,看上去反而是一本入门读物。
看起来怀旧风十足,是外行人以为的数学。充满了运算,代换,长长的式子,复杂的符号,但是却又能让人看明白,认为差得只是耐心和细心。现在的数学,一上来就抽象化了,函数变成了元素,数列变成了函数列,变换变成了同态,运算成了代数结构的乘法,粗看几眼,啥也看不懂。好像穿越了时空,确实,感觉很奇怪,似乎在无形中切换了发展方向,走在了另一条平行线上。
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