Week 3-5

Null Space : Subspace of all n × 1 vectors

Column Space：Subspace of all m × 1 vectors

Row Space：其实就是Transpose Matrix 的Column Space， Subspace of all n × 1 vectors

Left Null Space： 或者  , 所以就是 Null Space of , Subspace of all m × 1 vectors

我们来看Null Space ,  因为  , 因此 A 中行向量（Row Space 中的向量） 内乘 x （Null Space中的向量）等于0，所以

 Row Space 中的向量 与 Null Space中的向量 orthogonal 正交。

Null Space 的 dimension 是 #Non-Pivot Columns（想一下怎么算的过程就清楚了）

Row Space 的 dimension，因为 RREF 只是做了行变换，所以并没有改变Row Space。同时可以看出来，RREF 中的包含Pivot 的 Rows是线性独立的（因为在pivot上的元素只有pivot的那行有，上下都是0）。因此 

Row Space 的 dimension为#pivot columns。

因此，

dim（NULL） + dim（Row）= # total rows

同时他们加起来的向量空间就是 n × 1 向量空间。因此，

Null（A） 跟 Row（A）是 Orthogonal complement （正交补）

最后，dim（Col）也是等于#pivot columns，因此

dim（Col） = dim（Row）

然而他们分别属于不同的向量空间的子空间，不要搞错了哦！

这个如此重要的属性，就被称为 rank（A），也就是这个矩阵所拥有的线性独立的柱向量的数量。由于上面所说的性质，同时也等于线性独立的行向量的数量。