向量和矩阵求导

作者: 找不到工作 | 来源:发表于2021-07-24 12:20 被阅读0次

向量、矩阵求导其实就两个内容

分子每个元素对分母每个元素求导
将结果以一定方式布局

对于 1，没什么特别的，就是标量之间的求导。

对于 2，我们需要分情况讨论。

求导布局

求导结果的布局根据定义不同有所不同，没有统一。所以经常在不同的书上看到不一样的公式，使人产生困惑。

常见的求导类型如下：

分母 \ 分子	标量	向量	矩阵
标量	$\frac{\partial y}{ \partial x}$	$\frac{ \partial \boldsymbol{y} }{ \partial x }$	$\frac{\partial \boldsymbol{Y}}{\partial x}$
向量	$\frac{\partial y}{ \partial \boldsymbol{x}}$	$\frac{\partial \boldsymbol{y} }{ \partial \boldsymbol{x}}$	/
矩阵	$\frac{ \partial y }{ \partial \boldsymbol{X} }$	/	/

我们划掉的类型是因为其结果无法在二维矩阵中很好地表示，在优化问题中也不常见。

未划掉的类型中，唯一布局有歧义的就是向量对向量的求导： $\frac{ \partial \boldsymbol{y} }{ \partial \boldsymbol{x} }$

向量对向量求导

歧义在于，假设 $\boldsymbol{y}$ 是一个 $m$ 维向量， $\boldsymbol{x}$ 是一个 $n$ 维向量，那求导结果是一个 $m \times n$ 矩阵还是 $n \times m$ 矩阵呢？

分子布局，即以分子 $\boldsymbol{y}$ 的元素数作为行数。结果是一个 $m \times n$ 矩阵，也称为雅可比（Jacobian）矩阵。

$\frac{ \partial \boldsymbol{ y } }{ \partial \boldsymbol{ x } } = \begin{bmatrix} \frac{ \partial {y_1} }{ \partial {x_1} } & \frac{\partial {y_1} }{\partial {x_2} } & \cdots &\frac{\partial {y_1} }{\partial {x_n} } \\ \frac{\partial {y_2} }{\partial {x_1} } & \frac{\partial {y_2} }{\partial {x_2} } & \cdots &\frac{\partial {y_2} }{\partial {x_n} } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial {y_m} }{\partial {x_1} } & \frac{\partial {y_m} }{\partial {x_2} } & \cdots &\frac{\partial {y_m} }{\partial {x_n} } \\ \end{bmatrix}_{m \times n}$

分母布局，即以分母 $\boldsymbol{x}$ 的元素数作为行数。结果是一个 $n \times m$ 矩阵，也称为梯度(Gradient)矩阵。

$\frac{\partial \boldsymbol{ y }}{\partial \boldsymbol{ x } } = \begin{bmatrix} \frac{\partial {y_1} }{\partial {x_1} } & \frac{\partial {y_2} }{\partial {x_1} } & \cdots &\frac{\partial {y_m} }{\partial {x_1} } \\ \frac{\partial {y_1} }{\partial {x_2} } & \frac{\partial {y_2} }{\partial {x_2} } & \cdots &\frac{\partial {y_m } }{\partial {x_2} } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial {y_1} }{\partial {x_n} } & \frac{\partial {y_2} }{\partial {x_n} } & \cdots &\frac{\partial {y_m} }{\partial {x_n} } \\ \end{bmatrix}_{n \times m}$

两种布局均可，在一本书中一般是一致的。

标量对向量求导

标量常见的有以下几种形式：

$a^T x$
$x^T a$
$x^T A x$

从定义上看，1 和 2 类似：

首先定义：

$S = a^T x = x^T a = \sum_{i=1}^n a_ix_i$
得出：
$\frac{\partial S}{\partial x_i} = a_i$
因此：
$\frac{\partial a^Tx}{\partial x} = \frac{\partial x^Ta}{\partial x} = [ \frac{\partial S}{\partial x_1}, \frac{\partial S}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial S}{\partial x_n}]^T = a$

3 稍微复杂：
$S = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_iA_{i,j}x_j$

$\frac{\partial S}{\partial x_k} = \sum_{j=1}^n A_{k,j}x_j + \sum_{i=1}^n x_iA_{i,k} = (A_{k,i} + A_{i,k})x_i$

即求导后向量的第 k 个元素是 A 的第 k 行与 x 的内积 + 第 k 列与 x 的内积。这其实就是矩阵与向量乘法的定义。

$\frac{\partial x^TAx}{\partial x} = [ \frac{\partial S}{\partial x_1}, \frac{\partial S}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial S}{\partial x_n}]^T = Ax + A^Tx$

例：最小二乘法

最小二乘法是最流行的线性模型拟合方法。它的目的是找出系数 $\boldsymbol{\beta}$ 使 $||Y-\hat Y||_2$ （residual sum of squares, RSS）最小：

$\text{RSS}(\boldsymbol{\beta} ) = \sum_{j=1}^N (y_j - X_j^T\boldsymbol{\beta} )^2$

其中 $j$ 代表训练数据的序号。一共有 $N$ 组训练数据。
用矩阵形式表示为：

$\text{RSS}(\boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta} )^T(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta} )$

这里需要用 $\text{RSS}(\boldsymbol{\beta})$ 对 $\boldsymbol{\beta}$ 求导，得出二次函数最值点。

$\text{RSS}(\boldsymbol{\beta}) = \boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y} -\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{y} + \boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}$

套用上面的结论，可以得到：

$\frac{ \partial \text{RSS}(\boldsymbol{\beta})}{\partial \boldsymbol{\beta}} = - 2\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{y} + 2\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}$

令其为 0 可以解出：

$\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{y}$

向量和矩阵求导

求导布局

向量对向量求导

标量对向量求导

例：最小二乘法

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