2020-11-05最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

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两种方法：动态规划0(n2)和贪心+二分查找0(n logn)
最长上升子序列定义：
就是给你一个序列，请你在其中求出一段不断严格上升的部分，它不一定要连续。

就像这样：2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的两种选取方案。最长的长度是4

image.png

1、动态规划：(python3)

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        d = []
        for n in nums:
            if not d or n > d[-1]:
                d.append(n)#元素加载最后一个元素
            else:
                l, r = 0, len(d) - 1
                loc = r
                while l <= r:
                    mid = (l + r) // 2
                    if d[mid] >= n:
                        loc = mid
                        r = mid - 1
                    else:
                        l = mid + 1
                d[loc] = n
        return len(d)

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-by-leetcode-soluti/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

2、二分查找+贪心

思路：

image.png

以输入序列 [0,8,4,12,2] 为例：
第一步插入 0，d=[0]；
第二步插入 8，d=[0,8]；
第三步插入 4，d=[0,4]；
第四步插入 12，d=[0,4,12]；
第五步插入 2，d=[0,2,12]。
最终得到最大递增子序列长度为 3

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-by-leetcode-soluti/
来源：力扣（LeetCode）
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Krahets的博客（https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-dong-tai-gui-hua-2/）

代码：（python3）

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: [int]) -> int:
        tails, res = [0] * len(nums), 0
        for num in nums:
            i, j = 0, res
            while i < j:
                m = (i + j) // 2
                if tails[m] < num: i = m + 1 # 如果要求非严格递增，将此行 '<' 改为 '<=' 即可。
                else: j = m
            tails[i] = num
            if j == res: res += 1
        return res