一、图形引入
首先引入下面几个图形：
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上面的图形均是由一簇直线构成的。直线是按照一定的规则绘制的，确定直线的2个点的纵坐标逐渐减小，横坐标逐渐增大。这样在交点处会构成一条近似的曲线，下面就是研究这条近似曲线的比较精确的表达式。
比较精确的表达式需要满足下面2个条件：
-
该曲线需要靠近这些交点；
-
近似曲线与XY轴构成的面积和图形与XY轴构成的面积要比较接近；
下面进行符号说明：X轴间隔为a，Y轴的间隔为b，直线的条数为n。其中a，b均为1为标准形式。其他情形均是标准形式的一般化。
二、面积分析
对于标准形式而言，假设n=5，下面给出面积分析的结果：
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从结果可知，直线簇切割形成的小图形的面积是有规律可循的，其中最外层的面积是最小的，其面积为1/(n+1)，越靠近原点，面积越大，并且是成比例的。因此可以得到直线簇与XY轴构成的图形的总面积为n(n+2)/6。一般化的形式为，最小面积为ab/(n+1)，总面积为abn(n+2)/6。下面给出a=3，b=4，n=8的面积分析结果：
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三、拟合曲线
假设曲线方程具有如下形式：
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下面利用积分计算其与XY轴构成的图形的面积：
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根据积分结果，可知该曲线的面积是接近直线簇构成的面积的，满足条件2。下面对误差进行分析：
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当n大于0时，面积差函数的导数恒大于0，因此面积差函数是单调递增的，当n=1时，取得面积差的最小值：
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下面计算面积差的最大值，也就是计算：
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上述给的是标准形式，对于一般形式而言，最小值和最大值分别为：
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四、结果展示
- 标准形式，其中n=15
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- X轴间隔5，Y轴间隔3，n为80
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根据右下角的图像可知，曲线距离直线簇中的交点是比较接近的，因此满足条件1。
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