群的直积
群的直积是由已知群出发构造新的群的常用方法
外直积
设为群,积集合
在G中按分量相乘的形式引入G的一个乘法:
易证G关于上述乘法构成一个群
令分别为的单位元
令,,其中
故e为G的单位元
类似可证,的逆元为,其中为在中的逆元
定义:设为群,则关于上述定义的乘法构成的群称为的外直积
例:设,,则是一个阶有限群,其中为单位元
中的逆元为,中的逆元为,故在G中的逆元为
是6阶循环群,是8阶循环群,不是48阶循环群,,有,,有,故,从而在G中的阶是24的因数,不可能为48
注:
1.是交换群每个群都是交换群
2.在群中,对,令,则
(1)是G的正规子群
(2)同构于群
(3)
(4),有
证明:
内直积
定义:设为群G的正规子群,若满足条件:
1.
2.,有
则称G为的内直积,记作
注:若是的外直积,则的内直积
内直积与外直积
定理:若为内直积,则存在群,使得
1.,有
2.H与外直积同构
证明:
例:模6的剩余类加群,令,
且
由内直积的定义,
同构于外直积
同构映射如下
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