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近世代数理论基础15:群的直积

近世代数理论基础15:群的直积

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-02-21 08:49 被阅读43次

    群的直积

    群的直积是由已知群出发构造新的群的常用方法

    外直积

    G_1,G_2,\cdots,G_n为群,积集合G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_n$$=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)|a_i\in G_i,1\le i\le n\}

    在G中按分量相乘的形式引入G的一个乘法:

    (a_1,a_2,\cdots,a_n)(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_nb_n)

    易证G关于上述乘法构成一个群

    e_1,e_2,\cdots,e_n分别为G_1,G_2,\cdots,G_n的单位元

    e=(e_1,e_2,\cdots,e_n),\forall a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in G,其中a_i\in G_i

    ea=(e_1,e_2,\cdots,e_n)(a_1,a_2,\cdots,a_n)

    =(a_1,a_2,\cdots,a_n)=a

    =(a_1,a_2,\cdots,a_n)(e_1,e_2,\cdots,e_n)=ae

    故e为G的单位元

    类似可证\forall a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in G,a的逆元为a^{-1}=(a_1^{-1},a_2^{-1},\cdots,a_n^{-1}),其中a_i^{-1}a_iG_i中的逆元

    定义:设G_1,G_2,\cdots,G_n为群,则G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_n关于上述定义的乘法构成的群称为G_1,G_2,\cdots,G_n的外直积

    例:设G_1=(Z/6Z,+),G_2=(Z/8Z,+),则G=G_1\times G_2是一个|G|=|G_1\times G_2|=48阶有限群,其中([0],[0])为单位元

    G_1[3]的逆元为[3],G_2[2]的逆元为[6],故([3],[2])在G中的逆元为([3],[6])

    G_1是6阶循环群,G_2是8阶循环群,G=G_1\times G_2不是48阶循环群,\forall [a]\in G_1,有6[a]=[0],\forall [b]\in G_2,有8[b]=[0],故24([a],[b])=(24[a],24[b])=([0],[0]),从而([a],[b])在G中的阶是24的因数,不可能为48

    注:

    1.G=G_1\times G_2\times \cdots \times G_n​是交换群\Leftrightarrow​每个群G_i​都是交换群

    2.在群G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_n中,对1\le i\le n,令G^{(i)}=\{(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},a_i,e_{i+1},\cdots,e_n)|a_i\in G_i\},则

    (1)G^{(i)}是G的正规子群

    (2)G^{(i)}同构于群G_i

    (3)G=G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(n)}

    (4)\forall 1\le i\le n,有G^{(i)}\cap G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(i-1)}G^{(i+1)}\cdots G^{(n)}=\{e\}

    证明:

    (1)\forall g\in G,h\in G^{(i)}

    g=(a_1,a_2,\cdots,a_n),h=(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},h_i,e_{i+1},\cdots,e_n)

    \therefore g^{-1}hg=(a_1^{-1}e_1a_1,\cdots,a_{i-1}^{-1}e_{i-1}a_{i-1},\cdots,a_i^{-1}h_ia_i,a_{i+1}^{-1}e_{i+1}a_{i+1},\cdots,a_n^{-1}e_na_n)

    =(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},a_i^{-1}h_ia_i,e_{i+1},\cdots,e_n)\in G^{(i)}

    \therefore G^{(i)}\lhd G

    (2)建立映射f:G_i\to G^{(i)}

    \forall a_i\in G_i,f(a_i)=(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},a_i,e_{i+1},\cdots,e_n)

    易证f为同构映射

    (3)\because \forall 1\le i\le n,G^{(i)}为G的子群

    \therefore G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(n)}\subseteq G

    又\forall a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in G

    其中a_i\in G_i

    令a^{(i)}=(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},a_i,e_{i+1},\cdots,e_n)

    则a^{(i)}\in G^{(i)}

    且a=a^{(1)}a^{(2)}\cdots a^{(n)}\in G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(n)}

    \therefore G=G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(n)}

    (4)\forall a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in G^{(i)}\cap G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(i-1)}G^{(i+1)}\cdots G^{(n)}

    其中a_i\in G_i

    由a\in G^{(i)}

    j\neq i时有a_j=e_j

    \because j\neq i时每个G^{(j)}中元的第i个分类为单位元e_i

    由群中集合乘积的定义

    即AB=\{ab|a\in A,b\in B\}

    及G中乘法的定义

    a的第i个分量a_i=e_i

    \therefore a=(e_1,e_2,\cdots,e_n)=e为群G的单位元\qquad\mathcal{Q.E.D}

    内直积

    定义:设H_1,H_2,\cdots,H_k为群G的正规子群,若满足条件:

    1.G=H_1H_2\cdots H_k

    2.\forall 1\le i\le n,有H_i\cap H_1H_2\cdots H_{i-1}H_{i+1}\cdots H_k=\{e\}

    则称G为H_1,H_2,\cdots,H_k的内直积,记作G=H_1\times H_2\times \cdots\times H_k

    注:若G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_nG_1,G_2,\cdots,G_n的外直积,则G=G^{(1)}\times G^{(2)}\times \cdots\times G^{(n)}的内直积

    内直积与外直积

    定理:若H=H_1\times H_2\times\cdots\times H_k为内直积,则存在群G_1,G_2,\cdots,G_k,使得

    1.\forall 1\le i\le k​,有G_i\cong H_i​

    2.H与外直积G_1\times G_2\times \cdots \times G_k​同构

    证明:

    \forall i\neq j,a_i\in H_i,a_j\in H_j

    \because a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}=a_i(a_ja_i^{-1}a_j^{-1})=(a_ia_ja_i^{-1})a_j^{-1}

    \therefore a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}\in H_i,a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}\in H_j​

    由内直积的定义

    H_i和H_j为H的正规子群

    且H_i\cap H_1H_2\cdots H_{i-1}H_{i+1}\cdots H_k=\{e\}​

    又H_j\subset H_1H_2\cdots H_{i-1}H_{i+1}\cdots H_k

    \therefore H_i\cap H_j=\{e\}

    即a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}=e

    \therefore a_ia_j=a_ja_i

    即i\neq j时,H_i与H_j中元的乘法可以交换

    由内直积的定义

    \forall a\in H,\exists a_i\in H_i,使a=a_1a_2\cdots a_k

    若\exists b_i\in H_i,1\le i\le k,使a=b_1b_2\cdots b_k

    由H_i与H_j中元的乘法可交换

    \forall 1\le s\le k

    a_sb_s^{-1}=(a_1^{-1}b_1^{-1})\cdots (a_{s-1}^{-1}b_{s-1})(a_{s+1}^{-1}b_{s+1})\cdots (a_k^{-1}b_k)

    由内直积的定义

    a_sb_s^{-1}\in H_s\cap H_1H_2\cdots H_{s-1}H_{s+1}\cdots H_k=\{e\}

    \therefore a_s=b_s

    即群H中的任一元可唯一地写为H_1,H_2,\cdots,H_k中元的乘积

    \forall 1\le i\le k,令G_i=H_i

    建立群H到外直积G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_k的映射

    \varphi:H\to G\\\quad a=a_1a_2\cdots a_k\mapsto (a_1,a_2,cdots,a_k)

    易证\varphi是一个群同构映射\qquad\mathcal{Q.E.D}

    例:模6的剩余类加群Z/6Z=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5]\},令H_1=\{[0],[3]\},H_2=\{[0],[2],[4]\}

    H_1+H_2=\{[0]+[0],[0]+[2],[0]+[4],[3]+[0],[3]+[2],[3]+[4]\}

    =\{[0],[2],[4],[3],[5],[1]\}=Z/6Z

    H_1\cap H_2=\{[0]\}

    由内直积的定义,Z/6Z=H_1\times H_2

    H_1\cong Z/2Z,H_2\cong Z/3Z

    Z/6Z同构于外直积Z/2Z\times Z/3Z=\{([0],[0]),([0],[1]),([0],[2]),([1],[0]),([1],[1]),([1],[2])\}

    同构映射如下

    \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}Z/6Z&[0]&[1]&[2]&[3]&[4]&[5]\\ \hline 内直积&[0]+[0]&[3]+[4]&[0]+[2]&[3]+[0]&[0]+[4]&[3]+[2]\\ \hline 外直积&([0],[0])&([1],[2])&([0],[1])&([1],[0])&([0],[2])&([1],[1])\\ \hline \end{array}​

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