1.神经网络的主要功能
1）回归（Regression）
回归也可以叫做拟合（Fitting），是给出x值输出y值的过程，并且让y值与样本数据形成的曲线的距离尽量小，可以理解为是对样本数据的一种骨架式的抽象。
单层的神经网络能够模拟一条二维平面上的直线，从而可以完成线性分割任务。而理论证明，两层神经网络可以无限逼近任意连续函数。
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一元线性回归
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由大体上有线性关系的一个自变量和一个因变量组成。
- X是自变量（样本特征值），Y 是因变量（样本标签值），ε 是随机误差，a 和 b 是参数，在线性回归模型中，a,b 是我们要通过算法学习出来的。
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2）分类（Classification）
分类是通过神经网络训练出来的分界线，把两类或多类样本分开。可以理解为是对两类或多类样本数据的边界的抽象。
2.神经网络的训练过程
1）初始化权重矩阵
以单层神经网络模型为例，有 m 个输入，有 n 个输出。在神经网络中，b 到每个神经元的权值来表示实际的偏移值（把偏移值看做是神经元的一个输入）。
image
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(x1,x2,x3) 是一个样本数据的三个特征值
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(w11,w21,w31) 是 (x1,x2,x3) 到 n1 的权重
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(w12,w22,w32) 是 (x1,x2,x3) 到 n2 的权重
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b1 是 n1 的偏移
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b2 是 n2 的偏移
2）循环训练
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抽取训练样本x和对应目标y组成的数据批量。
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在x上运行网络（即正向传播），得到预测值y_pred。
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计算网络在这批数据上的损失，用于衡量y_pred与y之间的距离。
- 通过损失函数进行计算
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更新网络的所有权重，使网络在这批数据的损失略微下降。
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方法1：保持网络中其他权重不变，只考虑某个参数，让其尝试不同取值。（对网络中的所有系数都重复这一过程）
- 非常低效。
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方法2：利用网络中所有运算都可微，计算损失相对于每一个网络系数的梯度（即反向传播），然后向梯度的反方向改变系数，从而降低损失。
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可微：一个函数在其定义域中所有点都存在导数，则它是可微的。
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导数：函数f在p点的斜率。
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3）梯度下降法则
https://www.cnblogs.com/dztgc/archive/2013/05/02/3050315.html
“梯度下降”包含了两层含义：
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梯度：函数当前位置的最快上升点；
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下降：与导数相反的方向，用数学语言描述就是那个减号，亦即与上升相反的方向运动，就是下降。
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假设训练一个线性单元，它的输出o如下：
image
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损失E相对于向量w可表示为：
- 其中D是训练样例集合，td 是训练样例d的目标输出，od是线性单元对训练样例d的输出，E（w）是目标输出td和线性单元输出od的差异的平方在所有的训练样例上求和后的一半。
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梯度(gradient)是指：损失函数E相对向量w的的每个分量的导数，计作ΔE（w），指示了最陡峭的下降方向。
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梯度下降法则：即让损失函数E向下降的方向移动可以表示为
image
其中：
，η是一个正的常数叫做学习速率，它决定梯度下降搜索中的步长。
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对于每个分量wi可以表示为：
，其中
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因此得到梯度下降权值更新法则：
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训练线性单元的梯度下降算法步骤：
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选取一个初始的随机权向量；
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应用线性单元到所有的训练样例；
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根据梯度下降权值更新法则计算每个权值的Δwi;
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通过加上Δwi来更新每个权值，然后重复这个过程。
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4）随机梯度下降
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应用梯度下降的主要实践问题：
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有时收敛过程可能非常慢；
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如果在误差曲面上有多个局部极小值，那么不能保证这个过程会找到全局最小值。
常见的梯度下降变体被称为增量梯度下降算法（incremental gradient descent）或者随机梯度下降（stochastic gradient descent）。
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随机梯度下降的思想是根据每个单独样例的误差增量计算权值更新，得到近似的梯度下降搜索。
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，td和od是训练样例d的目标输出值和单元输出值。
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，t、o和xi分别是目标值、单元输出和第i个训练样例的输入。
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关键区别：
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标准的梯度下降是在权值更新前对所有的样例汇总误差，而随机梯度下降的权值是通过考查每个训练样例来更新的。
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在标准的梯度下降中，权值更新的每一步对多个样例求和，这需要大量的计算。
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如果
有多个局部极小值，随机的梯度下降有时可能避免陷入这些局部极小值中，因为它使用不同的
而不是
来引导搜索。
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5）反向传播
主要思想：
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数据集输入神经网络，经过隐藏层，最终达到输出层。该过程是前向传播过程。
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计算输出结果与真实结果存在误差，因此计算出误差，并将该误差从输出层向隐藏层反向传播，直至传播到输入层。
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在反向传播的过程中，根据误差调整各种参数的值；不断迭代上述过程，直至收敛。
反向传播求偏导
偏导求解过程可以应用链式法则。假设有一个函数：z = x dot y，其中 x = 2w + 3b，y = 2b + 1。
z对w求偏导
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假设当前参数w=3，b=4，可得：
而z的变化相对于w的变化可以表示为：
假设z的目标值是150，当前值是162，可以求得delta w的值如下：
z对b求偏导
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而z的变化相对于b的变化可以表示为：
假设z的目标值是150，当前值是162，可以求得w需要变化的值如下：
由于网络中的参数比较多，一个参数w改变一次值，并不能让z直接达到目标值，因此需要对每个参数多次迭代训练。
# double variable new: w, b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
factor_b=63.000000, factor_w=18.000000, delta_b=0.095238, delta_w=0.333333
w=2.666667,b=3.904762,z=150.181406,delta_z=0.181406
factor_b=60.523810, factor_w=17.619048, delta_b=0.001499, delta_w=0.005148
w=2.661519,b=3.903263,z=150.000044,delta_z=0.000044
factor_b=60.485234, factor_w=17.613053, delta_b=0.000000, delta_w=0.000001
w=2.661517,b=3.903263,z=150.000000,delta_z=0.000000
done!
final b=3.903263
final w=2.661517
- 让批量数据的损失最小，就是求损失函数极限的过程，而损失函数的极限点，就是它的导数为0的点。
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