3D数学基础

作者: Codifier | 来源:发表于2019-02-27 11:59 被阅读0次

3D数学基础

1.向量

1.1 定义

向量是有大小和方向的有向线段，向量没有位置，只有大小和方向

1.2 向量运算

1.2.1 向量的模

表示该向量距离原点的距离
$\mid\mid{V}\mid\mid {=} \sqrt[]{\sum_{i=1}^n{v_i^2}}=\sqrt[]{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_{n-1}^2+v_n^2}$

1.2.2 单位向量

使该向量的方向不变，大小变为1
$\hat{V} = \frac{V}{\mid\mid{V}\mid\mid}$

1.2.3 向量的点乘

表示向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积，其结果是一个标量，可以用来判断向量a与向量b是否在同一侧，还能计算这两个向量之间的夹角
${a}\cdot{b} = \sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}$

${a}\cdot{b} = \mid\mid{a}\mid\mid\ast\mid\mid{b}\mid\mid\ast\cos\theta$

如果a与b点乘的结果大于0，表示a与b之间的夹角在0到90度之间，a与b在同一方向

如果a与b点乘的结果等于0，表示a与b之间的夹角为90度，a与b垂直

如果a与b点乘的结果小于0，表示a与b之间的夹角在90到180度之间，a与b在相反方向

应用场景：把自己想象成一个剑士，你的周围都是怪物，如果你想去打与自己在同一侧而且距离最近的怪，这时就可以遍历自己周围所有的怪物，然后分别计算点乘和距离，找出点乘的结果大于0并且距离最小的怪物，再计算出你与该怪物的夹角，旋转过去，面向它，开始杀戮吧

1.2.4 向量的叉积

获取一个与向量a和向量b所在平面垂直的向量

向量a和向量b叉积的模：
$\mid\mid{a}\times{b}\mid\mid = \mid\mid{a}\mid\mid\ast\mid\mid{b}\mid\mid\ast\sin\theta$
表示以b的模为底、a的模乘以sinθ为高的平行四边形的面积

应用场景：我首先想到的是3D里面的法线，也不知道对不对，以后玩OpenGL的时候再说

2. 矩阵

2.1 线性变换

a为一个行向量，M为一个变换矩阵，那么行向量a可以经过矩阵M的变换以后得到一个新的行向量，在3D中，如果该变换矩阵为旋转矩阵，则意味着对原来的物体进行了旋转操作，如果该矩阵为缩放矩阵，则意味对原物体进行了缩放操作等等
$aM = b$

$\begin{bmatrix} {x}&{y}&{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {p_{x}}&{p_{y}}&{p_z}\\ {q_{x}}&{q_{y}}&{q_z}\\ {r_{x}}&{r_{y}}&{r_z}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {x{p_{x}}+y{q_{x}}+z{r_{x}}}&{x{p_{y}}+y{q_{y}}+z{r_{y}}}&{x{p_{z}}+y{q_{z}}+z{r_{z}}} \end{bmatrix}$

2.2 变换矩阵

2.2.1 旋转矩阵

二维平面旋转矩阵：
$R(\theta) = \begin{bmatrix} {\cos\theta}&{\sin\theta}\\ {-\sin\theta}&{\cos\theta} \end{bmatrix}$
三维空间旋转矩阵（左手坐标系）：

绕x轴旋转：
$R_x(\theta) = \begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}\\ {0}&{\cos\theta}&{\sin\theta}\\ {0}&{-\sin\theta}&{\cos\theta} \end{bmatrix}$
绕y轴旋转：
$R_y(\theta) = \begin{bmatrix} {\cos\theta}&{0}&{-\sin\theta}\\ {0}&{1}&{0}\\ {\sin\theta}&{0}&{\cos\theta} \end{bmatrix}$
绕z轴旋转：
$R_z(\theta) = \begin{bmatrix} {\cos\theta}&{\sin\theta}&{0}\\ {-\sin\theta}&{\cos\theta}&{0}\\ {0}&{0}&{1} \end{bmatrix}$

2.2.2 缩放矩阵

二维平面缩放矩阵：
$S(k_x,k_y) = \begin{bmatrix} {k_x}&{0}\\ {0}&{k_y}\\ \end{bmatrix}$
三维空间缩放矩阵：
$S(k_x,k_y,k_z) = \begin{bmatrix} {k_x}&{0}&{0}\\ {0}&{k_y}&{0}\\ {0}&{0}&{k_z}\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} {x}&{y}&{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {k_x}&{0}&{0}\\ {0}&{k_y}&{0}\\ {0}&{0}&{k_z} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {k_xx}&{k_yy}&{k_zz} \end{bmatrix}$

2.2.3 正交投影矩阵

二维平面正交投影矩阵：

投影到x轴：
$P(x) = \begin{bmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{0} \end{bmatrix}$
投影到y轴：
$P(y) = \begin{bmatrix} {0}&{0}\\ {0}&{1}\\ \end{bmatrix}$
三维空间正交投影矩阵：

投影到xy平面：
$P(x,y) = \begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0} \end{bmatrix}$
投影到xz平面：
$P(x,z) = \begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1} \end{bmatrix}$
投影到yz平面：
$P(y,z) = \begin{bmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{1} \end{bmatrix}$

2.2.4 镜像矩阵

二维平面镜像矩阵（任意轴）：
$M(n_x,n_y) = \begin{bmatrix} {1-2{n_x}^2}&{-2n_xn_y}\\ {-2n_xn_y}&{1-2{n_y}^2} \end{bmatrix} ，其中(n_x,n_y)为垂直于镜像轴的单位向量$
三维空间镜像矩阵（任意平面）：
$M(n_x,n_y,n_z) = \begin{bmatrix} {1-2{n_x}^2}&{-2n_xn_y}&{-2n_xn_z}\\ {-2n_xn_y}&{1-2{n_y}^2}&{-2n_yn_z}\\ {-2n_xn_z}&{-2n_yn_z}&{1-2{n_z}^2} \end{bmatrix} ，其中(n_x,n_y,n_z)为垂直于镜像平面的单位向量$

2.2.5 切变矩阵

二维平面切变矩阵：

x轴方向发生切变（y值不变，影响x的值），s为切变量：
$H_x(s) = \begin{bmatrix} {1}&{0}\\ {s}&{1} \end{bmatrix}$

y轴方向发生切变（x值不变，影响y的值），s为切变量：
$H_y(s) = \begin{bmatrix} {1}&{s}\\ {0}&{1} \end{bmatrix}$
三维空间切变矩阵：

xy平面发生切变（z值不变，影响x和y的值），s和t分别为不同轴向上的切变量：
$H_{xy}(s,t) = \begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {s}&{t}&{1}\\ \end{bmatrix}$
xz平面发生切变（y值不变，影响x和z的值），s和t分别为不同轴向上的切变量：
$H_{xz}(s,t) = \begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}\\ {s}&{1}&{t}\\ {0}&{0}&{1} \end{bmatrix}$
yz平面发生切变（x值不变，影响y和z的值），s和t分别为不同轴向上的切变量：
$H_{yz}(s,t) = \begin{bmatrix} {1}&{s}&{t}\\ {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix}$

2.3 行列式的几何意义

二阶方阵行列式：表示这两个二维向量（水平方向）所围成的平行四边形的面积

三阶方阵行列式：表示这三个三维向量（水平方向）所围成的立方体的体积

2.4 矩阵的逆的几何意义

某个矩阵进行旋转、缩放等线性变换之后，如果对变换结果不满意，此时可以使用矩阵的逆进行撤销操作，使其回到最初的状态

2.5 齐次矩阵

如果我们给行向量增加一列，给变换矩阵增加一行和一列，然后再相乘，如下所示：
$\begin{bmatrix} {x}&{y}&{z}&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {p_{x}}&{p_{y}}&{p_z}&{0}\\ {q_{x}}&{q_{y}}&{q_z}&{0}\\ {r_{x}}&{r_{y}}&{r_z}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {x{p_{x}}+y{q_{x}}+z{r_{x}}}&{x{p_{y}}+y{q_{y}}+z{r_{y}}}&{x{p_{z}}+y{q_{z}}+z{r_{z}}}&{1} \end{bmatrix}$
由结果可以看出，尽管我们把行向量和变换矩阵都给扩大了一维，但是对最终的变换结果没有任何影响，利用这一性质，我们只需稍作修改就能在进行变换的同时进行平移，如下所示：
$\begin{bmatrix} {x}&{y}&{z}&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {p_x}&{p_y}&{p_z}&{0}\\ {q_x}&{q_y}&{q_z}&{0}\\ {r_x}&{r_y}&{r_z}&{0}\\ {\Delta{x}}&{\Delta{y}}&{\Delta{z}}&{1}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {x{p_{x}}+y{q_{x}}+z{r_{x}}+\Delta{x}}&{x{p_{y}}+y{q_{y}}+z{r_{y}}+\Delta{y}}&{x{p_{z}}+y{q_{z}}+z{r_{z}}+\Delta{z}}&{1} \end{bmatrix}$
平移矩阵：
$\begin{bmatrix} {x}&{y}&{z}&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1}&{0}\\ {\Delta{x}}&{\Delta{y}}&{\Delta{z}}&{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {x+\Delta{x}}&{y+\Delta{y}}&{z+\Delta{z}}&{1} \end{bmatrix}$

3. 欧拉角

3.1 欧拉角的组成

heading角（yaw角）：绕y轴旋转的旋转角（左手坐标系）

pitch角：绕x轴旋转的旋转角（左手坐标系）

bank角（roll角）：绕z轴旋转的旋转角（左手坐标系）

3.2 万向锁

一旦选择pitch角为正负90度，就被限制在只能绕垂直轴旋转

4. 四元数

绕任意轴旋转的四元数表示方法：
$q = \begin{bmatrix} {cos({\theta/2})}&{sin({\theta/2})*\vec{n}} \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} {cos({\theta/2})}&{sin({\theta/2})*n_x}&{sin({\theta/2})*n_y}&{sin({\theta/2})*n_z} \end{bmatrix}$

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1.向量

1.1 定义

1.2 向量运算

1.2.1 向量的模

1.2.2 单位向量

1.2.3 向量的点乘

1.2.4 向量的叉积

2. 矩阵

2.1 线性变换

2.2 变换矩阵

2.2.1 旋转矩阵

2.2.2 缩放矩阵

2.2.3 正交投影矩阵

2.2.4 镜像矩阵

2.2.5 切变矩阵

2.3 行列式的几何意义

2.4 矩阵的逆的几何意义

2.5 齐次矩阵

3. 欧拉角

3.1 欧拉角的组成

3.2 万向锁

4. 四元数

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