二次函数的探索

      大家好，今天我来为大家带来二次函数的探究。

      说到二次函数，我想摆在大家脑海中的一定是一条规范的抛物线。那么何为函数？何为二次？函数就是在某一个固定的变化过程中，有一个自变量，有一个会因为自变量变化而变化的因变量。而一个固定的自变量值（x）有且只有一个对应的因变量值（y）。而二次就是含有x的代数式中的x指数为2。如此一来，在图像上就会出现神奇的抛物线。那么这一切是如何成立的？如何有一个准确的理解？这次，我们就来通过两种方式合一的方法对其理解。成为我探究素材的三组二次函数分别是y=x方+2、y=2x方+2、y=x方-2、y=-x方-2。

      首先必然是从数的角度理解并分析。我们可以先来找一下他们的共同点。共同点为都是二次函数，未知数X的指数为2，影响y值的是其平方值。而X方具有什么性质？很显然具有非负性，如此一来就可以得知X方的最小值是零。到时候影响y值的只有参数b了。其实我们还能从非负性得出函数解析式的单调性。比如y=x方+2和y=x方-2，当X小于零时，我们可以发现其y值会伴随着x的增大而减小。而在到达X方最小值0时，过程结束。而当X大于零时，又可以发现y值会伴随X的增大而增大。显然依旧是非负性影响了此。那么举一反三，由于函数y=-x方+2的平方项系数为-1，单调性肯定会随之反过来，变成当x大于/小于0时，y值伴随X的增大而增大/增大而减小。其单调性造成在同一组解析式中当两个x值互为相反数时，所对应的y值居然是相同的。

      但我有一个问题：平方项的待定系数和参数b在图像上会对函数有何影响？

      自然，我们就需要在形上，也就是在平面直角坐标系中按照解析式中每组对应的x与y点坐标构成的点连城的线，一一观察：

      我们先来用形验证一下在数上分析的规律。以X轴为参照物，我们可以明显发现X等于0的横坐标是一个交界点，当x值小于0时，前三组图像都是一个斜向下的平滑曲线，伴随X数值越来越大，所对应的y值也就越小。而在X大于零之后，就反过来了。不知大家有没有发现，这样的特性正好给予了函数图像对称性。以y轴作为参照物，我们可以发现每一条图像都关于y轴对称，原因还是来自于x方的非负性。恰好，图像连接点也就是图像与Y轴的交点有符合x方最小值为零的特性，为顶点。那么在数形结合之外我们还可以发现什么呢？二次函数与一次函数最大的区别不仅在于是平滑的曲线，也在于有开口方向！但是我们可以从图中看到不同二次函数图像的开口特性不一样，究竟是什么造成的？先来看一组：y=x方+2、y=2x方+2。从数上来说，两者除了平方项系数不同，没有其他不同。而在形上表现的则是系数为2的图像开口更小！内在原因其实是因为系数增加了x方的数值，会使x所对应的y值相对于系数为1的y值更大，图像也就越“陡”，造成了如此结果。由此我们可以得出开口大小与二次项系数，或者说k有关。因为k值越大，斜率越大。但开口这个特性，还有一个向上向下的区别，这又是如何区分的？在看一组：y=x方-2、y=-x方-2。可以发现他们的系数前者大于零，后者小于零。而在图像中，所表达的区别就是开口大小相同，但是开口方向却一上一下。这也很好理解。所以我们可以得出，二次函数开口方向与二次项系数是否大于零有关。而且结合一次函数的性质，可以发现参数b对一次、二次函数图像的影响是同一个效果，都是在控制他们的上下移动。这点也很好理解。

      在分析完二次函数的图像以及他的性质之后，接下来就没有了吗？no，恰恰相反，结合一下，曾经我们探究一次函数的过程，就不得不提到三个一次。同样在这里，我们也需要提到三个二次，也就是已经讨论过的二次函数，以及二次方程，二次不等式。那么将三个二次分别融入到不同的二次函数解析式中，会有什么魔法出现？我们来探究一下：

      可以看到我分别选定了两组函数解析式进行分析，出现了不同的结果。我们一个个来分析。不光是大家，我也很疑惑为什么函数Y=X方+2的方程没有实数解。到头来用了一下数形结合，才发现为什么。因为在这个函数图像中，图像根本没有与X轴有任何交集！说明y值将不会小于0，也就是过原点。所以才造成了无解。这米莱就很好，解释为什么大于式可以是任何实数，而小于式无解了。接下来再来看第二个，y=x方-2。他的方程在平面直角坐标系上所对应的点就是图像与X周的两个交点。但令人费解的是他的大于式为什么X在某一范围之内而非普通的大于小于？很抱歉，到目前为止，我们还并没有学过该如何去解二次不等式。那么到底该怎么办呢？那就是借用数形结合！我们可以思考一下当x方-2小于0时，y也小于0。既然y小于0，那对应的X解集一定是在图像上与外对应的每一个点。很显然，就是这一部分：

      这下是不是很好理解了！这么一来，自然就可以理解他的小于式，也就是图像上X轴上方的两条无端点平滑曲线所对应的X值与Y值。如此一来便同时存在两个结果。

      这就是我对二次函数图像与性质的简要探究。在明晰完这点之后，下一步的内容是什么呢？我想应该是研究二次函数的更多性质，比如说平方项不是仅仅有x，而会有其他常数。由此我们需要再次邀请一位嘉宾，掌声有请y=（x-2）方和y=（x+2）方！

      这是其图像：

      可以明显发现，图像与之前我所画的有一个重大的不同，那就是图像的对称轴不再是y轴，而是平行于其的直线。为何会如此？因为平方项的底数，也就是x发生了变化！之前事实上一直都是x+0的形式，当融入-2与2后，图像发生了横向上的平移。同时从解析式中，我们可以归纳出来每一个图像的顶点坐标。顶点坐标有一个特点，那就是x为0，因为平方数具有非负性。既然如此，那么就需要保证x内部的、真正带入计算的x与参数商家等于0，比如x+2，就必须要确保X等于-2。于是我们就可以得出，当参数为h时，顶点的横坐标为-h。除此之外，y肯定为0。于是我们便可以得出顶点坐标为（-h，0）。那么如果再在平方项之外加一个参数b呢？b主要控制的就是函数图像的纵向移动。而如今平方项的值已经为0，y自然就会直接等于b！则坐标为（-h，b）。这点大家是不是很好理解了？所以，我们可以得出一个具有“一般性”的二次函数解析式，y=（x-h）方+b。大家肯定好奇我为什么加个双引号，因为结合二次方程，我们发现在式子中还包含x的一次项！那如果在二次函数的基础上，再加入一个一次项，数会有怎样的表现呢？“形”又会如何？敬请期待！