第五课 生成学习算法

本讲大纲：

1.生成学习算法（Generative learning algorithm）
2.高斯判别分析（GDA，Gaussian Discriminant Analysis）
3.朴素贝叶斯（Naive Bayes）
4.拉普拉斯平滑（Laplace smoothing）

1.生成学习算法

判别学习算法（discriminative learning algorithm）:直接学习p(y|x)（比如说logistic回归）或者说是从输入直接映射到{0,1}.
生成学习算法（generative learning algorithm）:对p(x|y)（和p(y)）进行建模.
简单的来说，判别学习算法的模型是通过一条分隔线把两种类别区分开，而生成学习算法是对两种可能的结果分别进行建模，然后分别和输入进行比对，计算出相应的概率。
比如说良性肿瘤和恶性肿瘤的问题，对良性肿瘤建立model1（y=0），对恶性肿瘤建立model2（y=1），p(x|y=0)表示是良性肿瘤的概率,p(x|y=1)表示是恶性肿瘤的概率.
根据贝叶斯公式（Bayes rule）推导出y在给定x的概率为：

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2.高斯判别分析 GDA

GDA是我们要学习的第一个生成学习算法.
GDA的两个假设：
假设输入特征x∈Rn，并且是连续值;
p(x|y)是多维正态分布(multivariate normal distribution);

2.1 多维正态分布
若x服从多维正态分布（也叫多维高斯分布），均值向量（mean vector）

，协方差矩阵（convariance matrix）#，写成x~ , 其密度函数为： 表示行列式（determinant）.
均值： 协方差Cov(Z)= = = ∑
高斯分布的一些例子：
左图均值为零（21的零向量），协方差矩阵为单位矩阵I（22）（成为标准正态分布）. 中图协方差矩阵为0.6I， 右图协方差矩阵为2I
均值为0，方差分别为(趋于扁平)：

2.2 高斯判别分析模型

写出概率分布：
模型的参数为φ，μ0，μ1，∑，
求出最大似然估计为：
结果如图所示：
注：这张图很好地描述了GDA的过程：上面的小点就是训练样本，我们会对正样本(图中的x样本)拟合出一个高斯分布，这个高斯分布表示了 p(x|y=1)。之后再观察负样本(图中的o样本),拟合出一个高斯分布，这个高斯分布表示了 p(x|y=0)。然后这两个高斯分布的密度函数可以定义出两个类别的分隔器。这个分隔器比逻辑回归得到的直线要更复杂一些。

1.3 讨论GDA和logistic回归
GDA模型和logistic回归有一个很有意思的关系. 如果把

这里写图片描述 看做是x的函数，则有： 这里写图片描述 其中 这里写图片描述 是 这里写图片描述 的函数，这正是logistic回归的形式.

关于模型的选择： 刚才说到如果p(x|y)是一个多维的高斯分布，那么p(y|x)必然能推出一个logistic函数；反之则不正确，p(y|x)是一个logistic函数并不能推出p(x|y)服从高斯分布.这说明GDA比logistic回归做了更强的模型假设.
如果p(x|y)真的服从或者趋近于服从高斯分布，则GDA比logistic回归效率高.
当训练样本很大时，严格意义上来说并没有比GDA更好的算法（不管预测的多么精确）.
事实证明即使样本数量很小，GDA相对logisic都是一个更好的算法.

但是，logistic回归做了更弱的假设，相对于不正确的模型假设，具有更好的鲁棒性（robust）.许多不同的假设能够推出logistic函数的形式. 比如说，如果#

那么p(y|x)是logistic. logstic回归在这种类型的Poisson数据中性能很好. 但是如果我们使用GDA模型，把高斯分布应用于并不是高斯数据中，结果是不好预测的，GDA就不是很好了.

3.朴素贝叶斯

在GDA模型中，特征向量x是连续的实数向量.如果x是离散值，我们需要另一种学习算法了.
例子:垃圾邮件分类问题 首先是把一封邮件作为输入特征，与已有的词典进行比对，如果出现了该词，则把向量的xi=1,否则xi=0,例如：

我们要对p(x|y)建模，但是假设我们的词典有50000个词，那么 ，如果采用多项式建模的方式，会有 ，明显参数太多了，这个方法是行不通的.
为了对p(x|y)建模，我们做一个很强的假设，假设给定y，xi是条件独立(conditionally independent)的.这个假设成为朴素贝叶斯假设（Naive Bayes assumption).
因此有： 条件独立
意思就是比如垃圾邮件分类，一些词的出现与否并不影响你对另一些词出现与否的判断。虽然说朴素贝叶斯假设是很强的(因为实际上是有影响的)，但是其实这个算法在很多问题都工作的很好.

模型参数包括：

这里写图片描述 这里写图片描述
联合似然性（joint likelihood）为： 这里写图片描述 得到最大似然估计值： 这里写图片描述
很容易计算： 这里写图片描述
朴素贝叶斯的问题： 假设在一封邮件中出现了一个以前邮件从来没有出现的词，在词典的位置是35000，那么得出的最大似然估计为： 这里写图片描述 也即使说，在训练样本的垃圾邮件和非垃圾邮件中都没有见过的词，模型认为这个词在任何一封邮件出现的概率为0. 假设说这封邮件是垃圾邮件的概率比较高，那么 模型失灵.
在统计上来说，在你有限的训练集中没有见过就认为概率是0是不科学的.

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4.laplace平滑

为了避免朴素贝叶斯的上述问题，我们用laplace平滑来优化这个问题.
回到朴素贝叶斯问题，通过laplace平滑：
分子加1，分母加1就把分母为零的问题解决了.

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扩展

1. 生成模型和判别模型的区别

有监督机器学习方法可以分为生成方法和判别方法

• 常见的生成方法有混合高斯模型、朴素贝叶斯法和隐形马尔科夫模型等
• 常见的判别方法有SVM、LR等）

需要估计joint distribution的是generative model, 直接估计conditional distribution的是discriminative model。GMM 是一个典型的generative model, 它估计的是不同feature的联合分布。

生成方法学习出的是生成模型，判别方法学习出的是判别模型。

判别模型

• 求解的思路是：
  条件分布------>模型参数后验概率最大------->（似然函数参数先验）最大------->最大似然

• 优点
  1）与生成模型缺点对应，首先是节省计算资源，另外，需要的样本数量也少于生成模型。
  2）准确率往往较生成模型高。
  

  3）由于直接学习 P(\tilde{c}|\tilde{x} ) ，而不需要求解类别条件概率，所以允许我们对输入进行抽象（比如降维、构造等），从而能够简化学习问题。

• 缺点
  没有生成模型的上述优点。

生成模型

• 求解思路是：
  以朴素贝叶斯为例，联合分布------->求解类别先验概率和类别条件概率

• 优点

1. 生成给出的是联合分布，不仅能够由联合分布计算条件分布（反之则不行），还可以给出其他信息，比如可以使用P(x)=求和(P(x|ci)) 来计算边缘分布P(x)。如果一个输入样本的边缘分布P(x)很小的话，那么可以认为学习出的这个模型可能不太适合对这个样本进行分类，分类效果可能会不好，这也是所谓的outlier detection。
   2）生成模型收敛速度比较快，即当样本数量较多时，生成模型能更快地收敛于真实模型。
   3）生成模型能够应付存在隐变量的情况，比如混合高斯模型就是含有隐变量的生成方法。

• 缺点
  1）联合分布是能提供更多的信息，但也需要更多的样本和更多计算，尤其是为了更准确估计类别条件分布，需要增加样本的数目，而且类别条件概率的许多信息是我们做分类用不到，因而如果我们只需要做分类任务，就浪费了计算资源。
  2）另外，实践中多数情况下判别模型效果更好。
  3）对数据分布做出的假设要求更强，鲁棒性较差。