眼看着又要开始上班，上学期买的《数学简史》再看一遍，外国人写的书里很少涉及到古代中国的数学历史，非常少，少得可怜。在第一章里提到新石器时代的早期图案时提到中国的挂毯上能找到美丽的实例。学科的历史发展不仅仅关注本国的发展更要放眼世界从时间的发展历程中去了解。要想证明在任何时间在某一领域领先于其他国家需要有文献记录，光靠传说是不行的。中国有，在第二章“古代东方”最后有一些介绍，不着急，先关注第一章。
一
人类最初有数和形的观念要追溯到旧石器时代.在那几百万年的时间里,人们以小的群体聚集在一起,生活在和动物相差不多的情形之下,主要精力是用最原始的方法在任何可能的地方采集食物他们为打猎和捕鱼造出了器具,发展了语言彼此交流,并且在旧石器时代后期创造了各种艺术形式,诸如雕像和绘画,来丰富自己的生活.在法国和西班牙的洞穴里,大约15000年前的绘画很可能带有仪典的意义,但无疑表现了当时的人们对图形的非凡了解;用数学的语言来说,就是表现了对空间中物体的二维映像的了解。
（数与形由来已久，在旧石器时代就已经产生，在我们的数学课堂里面可以向学生介绍并附上图片更加。）
不过,直到从仅仅食物采集转化到真正从事粮食生产,从打猎捕鱼真正进入到农业,人们对于数量和空间关系的了解才有了相当的进步这种根本的改变,是一次人们对大自然的态度由被动变主动的革命,从此历史进入了新石器时代。
（旧石器时代—新石器时代，数学有了本质的变化，从现在数学概念上去关注“数量关系”和“空间关系”两个维度）
人类历史上这一伟大事件大约发生在10000年以前,当时覆盖在欧洲和亚洲的冰层开始融化,大地出现了森林和沙漠,人们寻找食物的游牧流浪也慢慢地结束了.大部分渔民和猎人被原始的农民所取代,只要土地还够肥沃,农民就会停留在固定的地方人们
开始建造更为长久的住所,不久为了应对气候变化和敌人劫掠又产生了乡村。考古已经发掘出许多这种新石器时代的定居所,出土
文物显示出最初的手工业如制陶、木工和纺织是怎样逐渐发展起来的.村民们用谷仓储存余粮,就能够对付冬天和困难的时期。当
时的人们已经会烤面包、酿啤酒,在新石器时代后期还会熔铸黄铜、青铜器具新发明出现了,特别是制陶的转盘和车轮;船和住
所也改善了。不过所有这些非凡的创新只是发生在局部的地方,很少流传到别的地方去。例如美洲印第安人在白人刚到美洲时还并不了解车轮的技巧。虽然如此,与旧石器时代比起来,技术进步的节奏是大大地加快了。
（停留，建造房屋及相关用品；有了交易促进了语言的发展及交际）
乡村之间有着可观的贸易往来,范围之广可以使相隔数百里的地方发生联系.人们发现了熔化和制造的手艺,最初用黄铜,接着就有青铜的器具和兵械.这些强烈刺激了贸易活动,推动了语言的进一步形成,当然这些语言里的字表现的还是很具体的东西,抽象的内容很少,但是已经有些简单的数字和图形关系的词汇了。许多大洋洲人、美洲人和非洲人的部落在与白人最初接触的时期还
过着这样的生活,有些部落现在仍旧生活在这样的情形下.只要我们抛弃某些先入为主的偏见,就有可能去研究他们的生活习惯和
表达方式,从而在某种程度上了解他们。
二
数词—如亚当斯密( Adam Smith)所说,可以表达某些“人类心智所能形成的最抽象的观念——是慢慢地被使用起来的。它们开始出现时是定性的而不是定量的,不过是一、二和多之间的区别。斐济古语中十条船称作"bola”,+个椰子称作“koro”，一千个
子称作“ saloro”数的概念的古代定性的起源,还能在某些语言中，如希腊语或凯尔特语( Celtic)中的一些特殊的双字词中看到蛛丝马迹.当数的概念延伸后,后面的数首先由加法形成3是2加1,4是2加2,5是2加3。
这里还有一些来自澳大利亚人的例子
在默里河( Murray River)地区:1=enea,2= petcheval,3=petcheval-enea, 4=petcheval-petcheval
在卡米拉罗易( Kamilaroi)地区:1=mal，2=buan,.3= guliba，4=bulan bulan, 5=bulan guliba, 6= guliba guliba
手工品贸易的发展刺激了数的概念的具体化,数排列起来并组合成大的单位,人们常用的是一只手或两只手的手指,贸易上这
是自然的方式。首先以五为进位基数,后来以十为进位基数,再加上加法或减法来完成计数,如此12是10+2,9是10-1.有的时候手指和脚趾总共的数目20,也会被选为进位基数。在易勒斯(W.C.Eels)所调查过的原始美洲人的307种计数法中,146种是十进位的,106种是五进位的或五和十进位的、二十进位的或五和二十进位的。墨西哥的玛雅人和欧洲的凯尔特人用的就是最典型的二十进位系统。
人们又用相同的重复计数:木棍上的刻痕、绳子上的绳结、把鹅卵石或贝壳五个摆成一堆这些做法很像旧时客店老板所用
的计数棍.从这样计数到引进特殊的符号代表5,10,20等,只有一步之遥,而且我们发现在文字历史开始时期,也就是在所谓文明的
黎明期,人们的确已经使用符号了。
（刻痕计数比较普遍，材质一般为木头或者兽骨，优点是易保存，缺点不宜携带，但是保存下来的足以证明本民族的悠久历史文化）
使用计数棍最古老的例子之一可以远溯于旧石器时代,是1937数年在摩拉维亚( Moravia)的韦斯托尼采( Vestonice)发现的,这是一根幼狼的骨头,7英寸(1英寸=2.54厘米)长,刻着55道深刻痕，其中前25道是5道一组.随后是单独一道2倍长的刻痕作为这
系列的结束;然后又从一道2倍长的刻痕开始新的系列的30道刻痕。考古还发现了其他这样有刻痕的计数棒。
于是我们就清楚了雅各布.格林(译者注: Jakob Grimm,他与弟弟威廉·格林一起创作了《格林童话》,以格林兄弟而闻名)书里
所说并且被人们反复引用的话,“计数始于数手指”的古老说法是错误的。用手指计数,也就是一五一十地计数,只是在社会发展到一定阶段才出现的。一旦到达这种程度,数就可以用一个基数表示出来,然后再由此构成更大的数目。于是开始了算术的原始形式,
14被表示为10+4,有的时候是15-1.当20不被表示为10+10,而是2×10的时候乘法就开始了,这种二重运算被视为加法和乘法之间的一种中间道路,被人们使用了几千年,特别是在埃及和在印度河流域雅利安之前( pre-Aryan)的摩亨佐一达罗( Mohenjo-Daro)
文化中。除法的开始是当10被表示为“整体的一半”的时候,虽然那时有意识地构成分数还是极其稀少的.例如在北美洲部落,人们
只发现了很少这种构成的实例,并且几乎全部都是1/2,个别情况有1/3或1/4.一个奇特的现象是,当时人们非常喜爱很大的数目,这种喜爱或许是由夸大杀死敌人数量的合乎人情的欲望而刺激出来的;这种倾向的痕迹也出现在《圣经》和其他宗教或非宗教的典籍里。
（这句话很有意思，不管哪个年代的人都有很强烈的虚荣心，那个时代的人们是想通过自身创造的更大的数来证明自己更强大；如今的人们创造更大的数是为了掩盖自己更虚伪。）
三
以后丈量物体的长度和容积也成为必需,当时量度标准粗放,常常就以人体的某个部分作为标准,于是就出现了像一指、一脚
一拃这样的单位。英语中的“ell”（译者注:相当于45英寸,原字是臂肘意)、“fathom”(译者注:约6英尺(1英尺=0.3048米)或8英尺长,原文是指两臂伸直时两手指尖之间的距离)、“cubit（译者注:原文是指从肘至中指末端的长度)就显示人们的这种习惯，建造房子时,如印第安的农民或中欧高架房的居民,会用直尺摆在地上保持房子盖直拐角成直角,英语里“ straight(直)”是与 stretch
(伸展)”有关系的,表示把绳子拉开；由"line(线)”到"linen(细麻布)则反映出编织的手艺和几何学起源之间的关系.这是测量
需求进化的一种方式。
（度量需要标准，而人的身体中的部分器官是最方便的工具。我觉得还因为大多数人身材差不多，才选用手、脚来作为标准去度量。）
新石器时代的人们对于几何图形也逐渐产生了敏锐的感觉。陶器的烧制和着色、灯芯草的编织、篮筐和衣料的编织以及后来金属的制造都促使人们去了解平面与空间的关系。舞蹈动作一定也起了相当的作用，新石器时代的装饰很乐于表现和谐、对称和相似数的关系也会出现在这种图形中,就像某些史前图形中就显示了三角形的数字,还有的显示了“神圣的”数字。
图1-4是陶器、编织物或篮筐上出现的一些有趣的几何图形图1的设计见于波西尼亚( Bosnia)新石器时代陶器和美索不达米亚( Mesopotamian)乌尔(Ur)时期的艺术品⊙图2的装饰图案出自古埃及王朝统治前(约公元前4000前3500年)的埃及陶器。图3显示的图形是初期铁器时代(中欧,约公元前1000—前500年)原南斯拉夫的卢布尔雅那( Ljubljana)附近的高架房居民所用的。图4的图形中方形里填三角形,三角形里填圆形,是匈牙利肖普朗( Sopron)附近的墓葬出土的瓮上的花纹,它显示了构造三角形数的努力,在后期的毕达哥拉斯数学中有着重要的作用.
（三角形数和其它形数都是有其历史渊源的，正因为这些数背后的原因才能够吸引无数的人喜欢上数学并开始研究它。）
这类图形在历史上一直很流行。在米诺斯(Minoan)和早期希腊的双瓶、后拜占庭和阿拉伯的镶嵌细工、波斯和中国的挂毯上都能找到美丽的实例。最初的早期图形可能含有宗教或魔法的意义,后来其中的美学形象逐渐成为主流。在石器时代的宗教里我们可以体会到人们面对自然界、面对社会结构以及面对个人经历的初步尝试,宗教仪式里大量充斥着我们现在认为是魔幻的内容,而且这种魔幻的元素与当时数和形以及雕刻、音乐和绘画中的观念结合在一起.有的数(例如3,4,7)和有的图形(如五角星和万十字)被看作是有魔力的,有些学者甚至认为数学的这一方面正是数学发展中的决定因素,虽然数学的社会根源到当今时代已经变得模糊不清,但在人类历史的早期时代却是相当明显的.“近代的”数字学是来自新石器时代甚或旧石器时代巫术或神秘仪式的一件遗物。
四
即使在社会结构离我们的科技文明很遥远的部落中,也能发现人们在时间的计算上,与日、月、星辰运动的知识密切相关农
业和商业发达一些以后,这一知识就增加了更多科学的成色。人类历史很早的时候就开始使用阴历,将植物生长的变化形式与月亮盈亏的变化联系在一起.原始的人们也注意到冬至和夏至,还有黎明时昴宿星的升起.最早期文明的人类会利用他们遥远的史前时代的天文学知识,还有的民族以星座作为航行的指南。从这种天文学人们得到了球、角方向和圆的一些知识,甚至还有更加复杂图形的知识。
（现在讲究创新，比如stem课程，我觉得从数学发展的过程中可以去挖掘。因为数学发展的过程中离不开多学科的相辅相成，交错影响。说到stem，再看到这里，国外的stem还是符合数学的本质的。可是不去研究而只是为了一个名声简直就是哗众取宠。有些课程不是拿来就可以教的，需要有沉淀，需要研究，需要找到与自身相结合起来的点，也就是自身实际情况，孩子的实际情况。）
近年来,人们更加注意史前石头遗迹可能具有的天文和历法意义，诸如英国大约公元前200年的巨石阵如果遗迹具有天文历法意义,马上就产生了一个问题这种天文的因此也就是数学的知识是怎样从某一中心传播过来的。这个中心也许是美索不达米亚(亦称“两河流域”)(弥漫说),或者具有本地生成的起源(这种观点近来得到很多支持).美洲的文明发展似乎就独立于欧洲文明和非洲文明,至少关联很小。
五
以上数学开端的简短展示表明,一种科学的历史发展不一定会经历过我们现在在书本中所划分的那些阶段.人类所知道的一些最古老的几何形状比如绳结和图案,只是在近年来才受到充分的科学关注。另一方面,数学的一些比较基础的部分,例如图表法
或初等统计学,只开始于相对现代的时期。正如施派泽(A. Speiser)刻薄而略带夸张的评论:
初等数学已经有着显著的日益冗长的趋向,这似乎是它所固有的,其实初等数学可能开始得很晚,因为开创性的数学家只偏爱去注意那些有趣而优美的问题.
六
在此也许正该提到三个古老的数学文明,它们是米诺斯一迈锡尼( inoans-Mycenaeans)文明、玛雅文明和印加文明,这些文明本身不乏精彩,却对数学以后的发展少有影响。它们的科学不能算“初期的”科学,而是属于下一章要谈到的古代东方科学。
人们在克里特岛( Crete)和希腊大陆的米诺斯-迈锡尼文明的废墟里发现了公务中使用的数学符号,这些符号出现在称为A
类线形文字和B类线形文字的手迹里,属于大约公元前1800—前1200年的时期数字表示和埃及一样(当然符号不同)使用加的方
式,1,10.100,100各有特殊符号.另外还有简单分数的符号,不全是单位分数。因为书写者不曾烘烤他们书写的泥板,保留下的只有
城市最后发生大火时受到烘烤的部分,我们对于这一文明的数学为知识程度的认识是不全的,它也许可以和埃及的数学相媲美.至
少我们知道荷马( Homer)笔下的英雄中有能在泥板上做算术的抄写员。
（偶然事件，得以保存到现在靠着一把火）
中美洲的玛雅文明,主要建立在现在的尤卡坦( Yucatan)和危地马拉,持续了1500年之久,在大约公元200–900年的所谓经典
时期达到高峰.玛雅的算术主要解读于非手写的石刻遗迹、法典和西班牙的史籍.与他们的天文学,特别是他们的历法系统紧密相
关的是二十进位制(至今依然),用点表示从1到4,横杠表示5到15的数目.对于更大的数,他们使用以20为基的位置制,20的幂也用与20相同的符号也就是单位符号表示.用于历法时则有一些修改这种位置体系需要表示0的符号,常常是一种贝壳或半睁眼符号.这一系统及其与历法的联系还流传到中美洲的其他民族.大家认为在墨西哥城发现的著名阿兹特克(Aztecs）时期日历石就是在11世纪末传到这个地方的。
印加从13世纪中叶开始在南美的安第斯山脉中部和以西的地方建起了广大的帝国,首都是库斯科( Cuzco).帝国庞大的社会
制度在管理、手工业和工程方面很强势,在交流和信息上不使用书写文字,使用一种结绳文字.结绳中最基本的是彩色棉或毛的一根主绳,与主绳相结的绳子上又结有成组的绳结,各组间有一定距离。每组结的数目是1–9个,比如说,4个结的一组后面是2个结的
一组,然后是8个结的一组,就表示428.因此说这是一个位置系统，其中0表示为两结间一段较大的距离。绳子的不同颜色表示不同物体:羊、士兵等;绳子的位置以及绳子所联结的绳子,对于会“读”结绳文字的记录人来说,可能就是一段非常复杂的统计故事。
（结绳计数：1、结的位置很重要；2、颜色不同表示的事物也不一样；3、每一个结绳背后都有一个统计故事，现代人很难理解它们背后的故事。
我们的数学课堂需要把这些有趣的故事讲给学生们听。不要总讲知识，说些道理，可以改变形式，比如讲点故事也是挺好的嘛。）
结绳文字里可能会有数百根结在一起的绳子,目前发现最大的一件垂有1800根绳子,可能表示的是军人或工人的团队.人们
只发现了400来件结绳,都是出土于墓葬,因为西班牙人曾将其视为邪恶而加以销毁。
这种结绳文字告诉我们,没有书写技艺也能具有发达的社会文明.巨石阵那样的文化是否可能拥有现在已经永远失传的类似
交流和存储信息的方法?这些绳结得以保存是因为掩埋在沿太平洋的沙漠地区,那些埋在不太干燥地区的就都丢失了。
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