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2018-10-06

2018-10-06

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2018-10-06 20:32 被阅读0次
  • 二、留数法
    • 将复平面中的线积分问题,转化为围线积分,从而可以用复变函数中的留数定理直接求得结果。
      • 原问题:f(t) = \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma -j\omega}^{\sigma + j\omega}F(s)e^{st}ds
      • 如果增加一条曲线,使其变为沿一个闭合曲线的积分,且沿着该曲线的积分为零.则\mathscr{L}^{-1}T就变成一个计算围线积分。
        • f(t) = \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\omega}^{\sigma + j\omega}F(s)e^{st}ds = \frac{1}{2\pi j}\oint_cF(s)e^{st}ds = \sum_{\text{c内所有定点}}Res_i
      • 1、根据约当辅助定理,当满足:
        • 1）、\lim_{|s|\to \infty}|F(s)| = 0
        • 2)、e^{st}中的实部满足Re(st) < \sigma_0 t
        • 时有\lim_{R\to \infty}\int_{ABC}f(s)e^{st}ds = 0或者\lim_{R\to \infty}\int_{AB^{'}C}f(s)e^{st}ds = 0
        • 当t > 0,\lim_{R\to \infty}\int_{ABC}f(s)e^{st}ds = 0
        • 当t < 0,\lim_{R\to \infty}\int_{AB^{'}C}f(s)e^{st}ds = 0
        • 单边LT中,我们考虑左半平面的所有积分,即：\frac{1}{2\pi j}\oint_cF(s)e^{st}ds = \sum_{\text{积分线左边平面所有极点}}Res_i
          • F(s)e^{st}的极点就是F(s)的极点.
    • 留数计算
      • 假设s_k是F(s)的一阶极点，则留数为：Res_k = [(s-s_k) F(s)e^{st}]|_{s = s_k}
      • 假设s_k是F(s)的n阶极点,则其留数为:
        Res_k = [\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}(s - s_k)^nF(s)e^{st}]|_{s = s_k}
      • 注意,不满足约当辅助定理条件时，不能用此方法求解
      • F(s),m \geq n不能用此方法求解,先长除进行预处理
  • 极零点与极零图
    • F(s)的极点和零点\frac{N(s)}{D(s)}
      • 极点:使F(s)等于无穷大的s平面上的点D(s) = 0的根
      • 零点：使F(s)等于无穷大的s平面上的点N(s) = 0的根
    • F(s)的极零图
      • 在s平面上将F(s)的极点和零点全部标出后的图。
      • F(s)的极点决定了其函数中各个子信号的基本模式。
      • F(s)的极点决定了原函数的波形形状,但不能决定幅度。
      • F(s)的极点不可能出现在收敛区。
  • 拉普拉斯变换的性质
    • 一、线性:
      • \mathscr{L}\{a_1f_1(t) + a_2f_2(t)\} = a_1\mathscr{L}\{f_1(t)\} + a_2\mathscr{L}\{f_2(t)\}
      • 使用范围：单边和双边
    • 二、尺度变换特性
      • 如果\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s),收敛区间\sigma_1 < Re(s) <\sigma_2,则 \mathscr{L}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|} = F(\frac{s}{a})
        • 收敛区间:a > 0时,a\sigma_1 < Re(s) < a\sigma_2,a < 0时,a\sigma_2 < Re(s) < a\sigma_1
        • 使用范围:双边LT,对于单边LT,要求a > 0
        • F.T.\{f(at)\} = \frac{1}{|a|}F(\frac{j\omega}{a})
    • 三、时延特性
      • 如果\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s),收敛区间\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2,则:\mathscr{L}\{f(t - t_0)\} = F(s)e^{-st_0},收敛区间不变.
        • 使用范围:1）双边LT,2)对于单边LT,要求t_0 \geq 0
        • F.T.\{f(t-t_0)\} = F(j\omega)e^{-j\omega t_0}
      • 单边周期信号--信号f(t)按周期T在t >0部分进行周期化后的信号--的LT:
        • f_T(t) = \sum_{n = 0}^{\infty}f(t - nT)
        • \mathscr{L}\{f_T(t)\} = \sum_{n = 0}^{\infty}\mathscr{L}\{f(t - nT)\}
          • \sum_{n = 0}^{\infty}F(s)e^{-snT} = F(s)[\sum_{n = 0}^{\infty}e^{-snT}] = \frac{F(s)}{1-e^{-sT}}
    • 四、复移频特性
      • 如果\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s),收敛区间\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2,则:\mathscr{L}\{f(t)e^{s_0 t}\} = F(s - s_0)
        • 收敛区间\sigma_1 + Re(s_0) < Re(s) < \sigma_2 + Re(s_0)
        • 适用范围：双边LT,单边LT
        • F.T.\{f(t)e^{j\omega_0 t}\} = F[j(\omega - \omega_0)]
    • 五、时域微分特性
      • 如果\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s),收敛区间\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2,则\mathscr{L}\{\frac{d}{dt}f(t)\} = sF(s) - f(0^{-}),\text{对于}0^{-}\text{系统}或者\mathscr{L}\{\frac{d}{dt}f(t)\} = sF(s) - f(0^{+}),\text{对于}0^{+}\text{系统}
      • 收敛区:可能增大，可能减小
      • 适用范围：单边LT,或右边信号的双边LT
      • 区别在于是否考虑了t = 0时的跃变,变换的结果可能不同
      • 0^{-}系统LT分析可以自动引入系统的初始条件,所以一般用0^{-}系统的LT
      • \mathscr{L}\{\frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t)\} = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0^{-}) - s^{n-2}f^{'}(0^{-}) - ...-sf^{n-2}(0^{-}) - f^{n-1}(0^{-})
        • = s^{n}F(s) - s^{n-1}\sum_{i = 0}^{n-1}s^{-i}\frac{d^i}{dt^i}f(t)|_{t = 0^{-}}
        • 若系统的初始状态为0
          • \mathscr{L}\{\frac{d^n}{dt^n}f(t)\} = s^nF(s)
          • F.T.\{\frac{d^n}{dt^n}f(t)\} = (j\omega)^nF(j\omega)
    • 六、时域积分
      • 如果\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s),收敛区间\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2,则：\mathscr{L}\{\int_{o^{-}}^{t}f(\tau)d\tau\} = \frac{F(s)}{s}
      • 收敛区间可能减少
      • 单边LT，右边信号的双边LT
      • \mathscr{L}\{(\int_{o^{-}}^{t})^{n}f(\tau)d\tau\} = \frac{F(s)}{s^n}
      • F.T.\{\int_{-\infty}^tf(\tau)d\tau\} =\pi F(0)\delta(\omega) + \frac{F(j\omega)}{j\omega}
      • \mathscr{L}\{\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\} = \frac{F(s)}{s} + \frac{\int_{-\infty}^{0}f(\tau)d\tau}{s}
    • 七、复频域微积分特性
      • 如果\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s),收敛区间\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2，则：\mathscr{L}\{tf(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s), \mathscr{L}\{\frac{f(t)}{t}\} = \int_{s}^{+\infty}F(p)dp
      • 收敛区:复频域微分:可能增加；复频域积分：可能减少.
      • F.T.\{tf(t)\} = -\frac{d}{d(j\omega)}F(j\omega)
      • F.T.\{\pi f(0)\delta(t) + j\frac{f(t)}{t}\} = \int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega
    • 八、参量微积分特性
      • 设\mathscr{L}\{f(t,a)\} = F(s,a),收敛区间\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2，则：\mathscr{L}\{\frac{\partial}{\partial a}f(t,a)\} = \frac{\partial}{\partial a}F(s,a)
      • \mathscr{L}\{\int_{a_1}^{a_2}f(t,a)da\} = \int_{a_1}^{a_2}F(s,a)
      • 收敛区不变
    • 九、初值定理
      • 如果f(t)和f^{'}(t)存在,且f(t)的LT也存在，则：f(0^{+}) = \lim_{t\to0^{+}}f(t) = \lim_{s\to\infty}sF(s)
      • 如果f(t)和f^{'}(t)含有冲激函数(或者其导数),或者\lim_{s\to \infty}F(s)不存在，则不能用上式求值.此时可以先通过长除将F(s)变为一个真分式F_p(s)与一个关于s的多项式之和,
      • f^{'}(0^{+}) = \lim_{s\to \infty}s [sF(s) - f(0^{-})]
      • f^{'}(0^{+}) = \lim_{s\to \infty}s [sF(s) - f(0^{+})]
      • f^{'}(0^{+}) = \lim_{s\to \infty}s^{2}F(s)
    • 十、终值定理
      • 如果f(t)和f^{'}(t)存在,且f(t)的LT也存在，且F(s)的极点位于s平面的左半平面,在s = 0上至多存在单极点,则：
      • f(+\infty) = \lim_{t\to\infty}f(t) = \lim_{s\to 0}sF(s)
    • 十一、卷积定理
      • \mathscr{L}\{f_1(t) * f_2(t)\} = \mathscr{L}\{f_1(t)\}\mathscr{L}\{f_2(t)\}
      • \mathscr{L}\{f_1(t)f_2(t)\} = \frac{1}{2\pi j}\mathscr{L}\{f_1(t)\} * \mathscr{L}\{f_2(t)\}
    • 十二、对偶特性
      • 如果\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s)
      • 则：\mathscr{L}\{F(t)\} = 2\pi j \cdot f(-s)
      • F.T.\{F(jt)\} = 2\pi \cdot f(-\omega)

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