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Hilbert空间上自伴算子的谱

Hilbert空间上自伴算子的谱

作者: xhje | 来源:发表于2019-12-03 22:16 被阅读0次

今天和室友讨论了一个题目, 证明Hilbert空间上自伴算子的谱都是实的, 感觉有些地方需要记录一下, 以免忘了. 这篇笔记将会充满跳步, 只是为了自己能看懂.

以下我们假设H是复Hilbert空间, T\in B(H)是自伴的.

命题1. 则\forall\lambda\in\mathbb{C}, \forall x\in H, 我们有
\|(\lambda I-T)x\|\ge|\mathrm{Im}\lambda|\|x\|
证明. 首先\langle(\lambda I-T)x,x\rangle-\langle x,(\lambda I-T)x\rangle=2i\mathrm{Im}\lambda\cdot\|x\|^2, 两边取模有2|\mathrm{Im\lambda}|\|x\|^2\le2\|x\|\|(\lambda I-T)x\|, 即证. \rule{3mm}{3mm}

命题2. 设\mathrm{Im}\lambda\ne0, 则\mathrm{im}(\lambda I-T)是闭的.
证明. 由命题1可以证明(自己取Cauchy列搞一搞). \rule{3mm}{3mm}

我们再注意到一些事实(这应当成已封装好的东西记在脑子里, 视为熟知的事实), 即对任何A\in B(H), 成立着(\mathrm{im}A)^\perp=\ker A^*. 当A是闭值域算子时, 由于Hilbert空间有正交分解定理(见另一篇笔记《Riesz表示定理与Lax-Milgram定理》), 再加上闭值域定理, 我们知道H=\ker A\oplus\mathrm{im}A^*=\ker A^*\oplus\mathrm{im}A. 由此可见, 一个算子的值域是不是闭的有一定的重要性.

命题3. \sigma(T)\subset\mathbb{R}.
证明. 任取\lambda\in\sigma(T), 如果\lambda\in\sigma_p(T), 即\lambda I-T不是单的, 那显然. 所以我们只需考虑\lambda\in\sigma(T)\setminus\sigma_p(T), 即\lambda I-T是单的, 此时它必然不是满的. 由之前的讨论我们知道\ker(\lambda I-T)^*=\ker(\overline\lambda I-T)\ne\{0\}, 故\overline\lambda\in\sigma_p(T), 故\overline\lambda是实的. \rule{3mm}{3mm}

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