今天和室友讨论了一个题目, 证明Hilbert空间上自伴算子的谱都是实的, 感觉有些地方需要记录一下, 以免忘了. 这篇笔记将会充满跳步, 只是为了自己能看懂.
以下我们假设是复Hilbert空间,
是自伴的.
命题1. 则,
, 我们有
证明. 首先, 两边取模有
, 即证.
命题2. 设, 则
是闭的.
证明. 由命题1可以证明(自己取Cauchy列搞一搞).
我们再注意到一些事实(这应当成已封装好的东西记在脑子里, 视为熟知的事实), 即对任何, 成立着
. 当
是闭值域算子时, 由于Hilbert空间有正交分解定理(见另一篇笔记《Riesz表示定理与Lax-Milgram定理》), 再加上闭值域定理, 我们知道
. 由此可见, 一个算子的值域是不是闭的有一定的重要性.
命题3. .
证明. 任取, 如果
, 即
不是单的, 那显然. 所以我们只需考虑
, 即
是单的, 此时它必然不是满的. 由之前的讨论我们知道
, 故
, 故
是实的.
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