1 定义

1.1 树型结构

（1）结点之间有分支
（2）具有层次关系

1.2 树的递归嵌套定义

树（tree）是n（n>=0）个结点的有限集。
若n=0，称为空树；
若n>0，则它满足如下两个条件：
（1）有且仅有一个特定的称为根（root）的结点；
（2）其余结点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集T1，T2，T3，...，Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树（subtree）。

2 基本术语

1、根结点：非空树中无前驱结点的结点；
2、结点的度：一个结点含有的子树的个数；
3、叶子结点/终端结点：不含子树即度为0的结点；
4、分支结点/非终端结点：含有子树即度不为0的结点；
5、双亲结点/父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
6、孩子结点/子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
7、兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
8、树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；
9、结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
10、树的高度或深度：树中结点的最大层次；
11、堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
12、结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
13、子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙；
14、有序树：树中结点的各子树从左至右有次序（最左边的为第一个孩子）；
15、森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

3 类型

3.1 二叉树

3.1.1 定义

二叉树是n（n>=0）个结点的有限集，它或者是空集（n=0），或者由一个根结点及两颗互不相交的分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树不是树的特殊情况，它们是两个概念。

3.1.2 特点

（1）每个结点最多有俩孩子（二叉树中不存在度大于2的结点）。
（2）子树有左右之分，其次序不能颠倒。
思考：具有3个结点的二叉树有几种不同形态？普通树呢？描述区别。

3.1.3 性质

（1）二叉树的第i层至多有2ⁱ⁻¹个结点（i>=1）；
提问：第i层至少有几个结点？（1个）
（2）深度为k的二叉树至多有2^k−1个结点（k>=1）；
结合性质（1）利用等
比数列求和公式可得：Sn = a₁(1-qⁿ)/(1-q)（q!=1）
也可以类比二进制数换算十进制数，几层树即几位二进制数，十进制转换即可：111111 = 2⁶-1。
提问：深度为k时至少有多少个结点？（k个）
（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1。
设总边数B，总结点数n，度为0的结点（叶子结点）n₀，度为1的结点n₁，度为2的结点n₂。
则有：
B=n-1
B=n₂2+n₁1
n=n₀+n₁+n₂
因此：
n₀+n₁+n₂-1=n₂2+n₁1 -> n₀=n₂+1

3.2 满二叉树

3.2.1 定义

一棵深度为k且有2^k−1个结点的二叉树称为满二叉树。如下图所示：

满二叉树

3.2.2 特点

（1）每一层上的结点数都是最大结点数（即每层都满）；
（2）叶子结点全部在最底层；
（3）满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数最多；
（4）满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点个数最多。

3.2.3 性质

（1）一颗树深度为h，最大层数为k，深度与最大层数相同，k=h；
（2）叶子数为2^h-1；
（3）第k层的结点数是：2^k−1；
（4）总结点数：2^k−1，且总结点数一定是奇数。

3.3 完全二叉树

3.3.1 定义

深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
注：在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个结点，即是一棵完全二叉树。

完全二叉树

例如上图所示，从最后一个结点往前，连续去掉满二叉树的12、13、14和15结点，剩下的就是完全二叉树。
当然我也发现了，满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

非完全二叉树
再如上图所示，去掉12、14和15结点，剩下的就不叫完全二叉树了。

3.3.2 特点

（1）叶子只可能分布在层次最大的两层上；
（2）对任一结点，如果其右子树的最大层次为i，则其左子树的最大层次必为i或i+1。

3.3.3 性质

（1）具有n个结点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1。注：此处[x]称作x的底，表示不大于x的最大整数。
证明：假设二叉树深度为k，则根据二叉树性质（2）及完全二叉树的定义得到：
2^k-1-1 < n <= 2^k-1 或 2^k-1 <= n < 2^k
取对数得：
K-1 <= log₂n < k
因为k是整数，所以有：
K = [log₂n]+1
（2）如果对一棵有n个结点的完全二叉树（深度为[log₂n]+1）的结点按层序编号（从1层到第[log₂n]+1层，每层从左到右），则对任一结点i（1<=i<=n），有：
①如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]。
②如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。
③如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i+1。

3.4 二叉排序树（非重点）

3.4.1 定义

二叉查找树、二叉搜索树

3.4.2 性质

可能是空树，若不是空树则有：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉排序树。

3.5 平衡二叉树（非重点）

3.5.1 定义

AVL树，由两位发明者名字命名。

3.5.2 性质

可能是空树，若不是空树则有：
（1）左子树和右子树都是平衡二叉树
（2）左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。

4 应用

作业练习：
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