理解欧拉公式，其实也没那么难。

最近看了3brown1blue的视频，通过集合论的方式来理解欧拉公式。

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欧拉公式的一种形式：

欧拉公式的难点是理解乘方是复数的意义，它并不是和1+1=2一样让人觉得理所应当，而是一种约定，如果这样约定，那么复数在集合论里面就有了很好的“homomorphism”（同态），实数的性质可以很好的被应用到复数域，而且使用复数可以很好的去解决很多实际工作中的问题。

1.换一种方式来理解加法和乘法

1.1 加法

在实数域里面，加法可以理解成一种位移，-1+10，相当于一个点从-1向右移动了10个单位。在复平面中，加法仍然可以理解为位移，(3+2i)+(1-3i)，可以是一个点在原点，先横向右移3+1个单位，在纵向下移2-3=1个单位。

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复平面的加法=纵向位移+横向位移

1.2 乘法

乘法在实数轴上相当于对坐标轴的 “拉伸/缩小”，3*10相当于一个点在3不动，坐标轴缩小为10倍，那么在复平面上的乘法呢？

3.png

1*(2+i)，相当于1的长度扩展了“根号5”倍，然后再逆时针旋转了30度，由此可以知道：

复平面的乘法= 拉伸/压缩+旋转

2.换一种方式理解乘方

在实数域里面，2的n次方就是指n个2相乘，那么2的0次方、2的-1次方、2的1/2次方呢？我们知道：2^n*2m=2^(m+n)，有了这个规则，2的0次方乘以2的1次方=2，2的0次方就等于1，同理，2的1/2*2的1/2次方=2……所以，0次方、-1次方、1/2次方就有了意义。

把乘方理解为一个函数，他一定有这个性质：F（x+y）=F（x）*F（y）

这个函数可以把加法，映射为乘法，推广到复平面，这个函数如果仍然成立，那么对于横向位移的加法，自然是映射为“拉伸/压缩”。2的2次方*2的2次方，当然等于2的4次方。

那么纵向位移的加法，会被映射成什么？ 2的0次方*2的i次方 == 2的（0+i）次方，这个纵向的加法对应的如果是--旋转，那多和谐啊。对的欧拉公式的也就是这样理解的。2的i次方就是一种旋转！