带通信号的表示
假设一个带通的时域信号为(s_p(t))，其时域表达为
s_p(t)=\operatorname{Re}\{s(t)e^{2\pi f_ct}\}
其中，(s(t)=s_r(t)+js_i(t))是复数基带信号，(s_r(t))和(s_i(t))分别是实部和虚部，(f_c)是载波频率。
根据欧拉公式
e^{jx}=cosx+jsinx
可以得到
s_p(t)=\operatorname{Re}\{(s_r(t)+js_i(t))(cos2\pi f_ct+jsin2\pi f_ct)\}
=\operatorname{Re}\{(s_r(t)cos2\pi f_ct-s_i(t)sin2\pi f_ct) + j(s_i(t)cos2\pi f_ct+s_r(t)sin2\pi f_ct)\}
=s_r(t)cos2\pi f_ct-s_i(t)sin2\pi f_ct
由此可知，带通的时域信号是基带信号的实部被cos载波调制加上基带的虚部被sin载波调制的叠加，即如下图所示（具体符号表示有所不同）。
[图片上传失败...(image-6684f3-1530840938569)]
从上图中可知，将基带信号用相互正交（cos和sin）的载波（相位相差90度，幅度也可以不同）调制，就是我们常说的QAM。
基带等效信道模型
由于无线信道的多径效应，接收端接收到的信号是发射信号的多个延迟的版本的叠加。接收信号可以表示为
y(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)
其中(L)是多径的总数，(a_i)和(\tau_i)分别是第(l)径的衰减和延迟。
代入带通信号的表达式，得到每个路径上的接收信号
0^{th}: \operatorname{Re}\{a_0s(t-\tau_0)e^{2\pi f_c(t-\tau_0)}\} \\ 1^{st}: \operatorname{Re}\{a_1s(t-\tau_1)e^{2\pi f_c(t-\tau_1)}\}\\ ...\\ L-1^{th}: \operatorname{Re}\{a_{L-1}s(t-\tau_{L-1})e^{2\pi f_c(t-\tau_{L-1})}\}
因此，接收到的带通信号为
y_p(t)=\sum_{i=0}^{L-1}\operatorname{Re}\{a_is(t-\tau_i)e^{2\pi f_c(t-\tau_i)}\} \\ =\operatorname{Re}\{\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)e^{-j2\pi f_c\tau_i}e^{2\pi f_ct}\}
根据前面带通信号与基带等效信号之间的关系可知，接收信号的基带等效信号为
y(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)e^{-j2\pi f_c\tau_i}
衰落信道模型
在窄带信号的假设条件下（信号的带宽远小于载波频率）有，(s(t)\approx s(t-\tau_i))。因此，接收基带等效信号可以表示为
y(t)=hs(t)
其中，(h)就是衰落信道系数，表示为
h=\sum_{i=0}^{L-1}a_ie^{2\pi f_c\tau_i} \\ =\sum_{i=0}^{L-1}(a_icos2\pi f_c\tau_i+ja_isin2\pi f_c\tau_i)
其中(a_i)和(\tau_i)都是随机变量，若定义随机变量
X=\sum_{i=0}^{L-1}a_icos2\pi f_c\tau_i \\ Y=\sum_{i=0}^{L-1}a_i sin2\pi f_c\tau_i
由于X和Y均是大量独立同分布的随机变量之和，根据中心极限定理可知，X和Y均服从高斯分布。进一步，我们假设X和Y相互独立，且服从0均值，方差为1/2的高斯分布，即(X,Y\sim N(0,1/2))。则X和Y的联合分布函数为
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \\ =\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-y^2} \\ =\frac{1}{\pi}e^{-(x^2+y^2)}
衰落信道系数可以进一步表示为
h=x+jy=ae^{j\phi}
则，(h)的幅度和相位也是随机变量，其联合分布为
f_{A,\Phi}(a,\phi)=\frac{1}{\pi}e^{-(x^2+y^2)}|J_{XY}|
其中，(J_{XY})是雅克比矩阵，而(|J_{XY}|)是它的行列式。
J_{XY}=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial a} & \frac{\partial y}{\partial a}\\ \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\end{bmatrix}
因为(x=acos\phi)，(y=asin\phi)，所以
|J_{XY}|=\begin{vmatrix} cos\phi & sin\phi\\ -asin\phi & acos\phi \end{vmatrix}=a
代入前面的公式并结合(a2=x2+y^2)，得到
f_{A,\Phi}(a,\phi)=\frac{a}{\pi}e^{-a^2}
有了联合概率密度函数后，对(A)和(\Phi)求边缘密度，得到
f_A(a)=\int_{-\pi}^{\pi}f_{A,\Phi}(a,\phi)d\phi=2ae^{-a^2} \\ f_\Phi(\phi)=\int_{0}^{\infty}f_{A,\Phi}(a,\phi)da=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}2ae^{-a^2}da=\frac{1}{2\pi}(-e^{-a^2})|_0^{\infty}=\frac{1}{2\pi}
从上式可以看出，衰落信道系数(h)的幅度服从Rayleigh分布，而相位服从均匀分布——我们称之为瑞利衰落信道。
AWGN条件下BPSK的BER特性
AWGN条件下，接收信号可以表示为
y=x+n
其中，(n)是高斯白噪声，即(n\sim N(0,\sigma^2))，其概率密度函数为
f_N(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}}
对于BPSK来说，假设符号“0”用功率(\sqrt{P})发送，而符号"1"用功率(-\sqrt{P})发送。
当(x)发送“1”时，有
x=-\sqrt{P} \\ y=-\sqrt{P}+n
对BPSK来说，接收端判决的门限是0，因此，当接收电平高于0时，则会发生误码。若将这个概率记为(P_{e1})，则有
P_{e1}=P(y>0) \\ =P(-\sqrt{P}+n>0) \\ =P(n>\sqrt{P})
代入AWGN的概率密度，得到
P_{e1}=\int_{\sqrt{P}}^{\infty}f_N(n)dn \\ =\int_{\sqrt{P}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}}dn
定义(\frac{n}{\sigma}=t)，得到
P_{e1}=\int_{\frac{\sqrt{P}}{\sigma}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt \\ =Q\left ( \sqrt{\frac{P}{\sigma^2}} \right ) \\ =Q\left (\sqrt{SNR} \right )
同理，当发送符号0时，记误码的概率为(P_{e0})，
P_{e0}=P(n\leqslant -\sqrt{P})
由于高斯白噪声的概率密度是以0为均值的对称函数，则
P_{e0}=P_{e1}
整个系统的误码率为
P_e=P_{e0}P(发送符号0)+P_{e1}P(发送符号1)
在发送端等概率发送符号0和符号1的假设条件下，有
P_e=\frac{1}{2}(P_{e0}+P_{e1}) \\ =Q\left( \sqrt{SNR} \right)
其中，(SNR=\frac{P}{\sigma^2})是信噪比。
Rayleigh衰落条件下BPSK的BER性能
Rayleigh衰落信道条件下，接收信号可以表达为
y=hx+n
其中，(h)是衰落系数，(n\sim N(0,\sigma^2))。此时，接收信号中有用信号的功率为
p_f=|h|^2P
由于(h=ae^{j\phi})，得到
p_f=a^2P
因此，接收端的衰落信噪比为
SNR_{fading}=\frac{a^2P}{\sigma^2}
代入AWGN下BPSK的BER公式，可以得到Rayleigh衰落条件下的BER性能为
P_e=Q\left( \sqrt{a^2SNR} \right)
信道的衰落特性导致信道的幅度(a)是随机变量，因此，衰落条件下的(P_e(a))也是随机变量，所以讨论平均BER是有意义的。
代入Rayleigh衰落信道幅度的概率密度函数(f_A(a)=2ae{-a2})，得到平均BER为
\bar{P}_e=\int_{0}^{\infty}Q\left( \sqrt{a^2SNR}\right)2ae^{-a^2}da
(积分过程略)
\bar{P}_e=\frac{1}{2}\left( 1- \sqrt{\frac{SNR}{2+SNR}}\right)
在高信噪比条件下，得到如下近似
\bar{P}_e=\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{\frac{1}{\frac{2}{SNR}+1}} \right) \\ =\frac{1}{2}(1-(1+\frac{2}{SNR})^{-1/2}) \\ \approx \frac{1}{2}(1-1+\frac{1}{2}\frac{2}{SNR}) \\ =\frac{1}{2SNR} \tag{*}
由此可知，Rayleigh衰落信道条件下，BPSK系统的平均BER特性依(1/SNR)衰减。相比AWGN条件下
P_e=Q\left( \sqrt{SNR} \right) \approx \frac{1}{2}e^{-\frac{SNR}{2}} \tag{**}
依指数衰减慢得多！
举例说明，在同一个系统中，要达到相同的误码率要求（比如(10^{-6}) ），在Rayleigh衰落信道下，相比AWGN条件下，前者需要更多的SNR（多需要43dB！）。
深衰落分析
一般来讲，当信道发生深衰落时，系统的误码率很高。我们首先将“深衰落”事件定义为接收信号的功率低于噪声功率的事件，则深衰落事件发生的概率为
\begin{aligned} P_{DF}&=\operatorname{Pr}(a^2P\leqslant \sigma^2) \\ &=\operatorname{Pr}(a\leqslant \frac{1}{\sqrt{\operatorname{SNR}}}) \end{aligned}
结合Rayleigh衰落幅度的概率密度函数，得到
\begin{aligned} P_{DF}&=\int_{1/\sqrt{\operatorname{SNR}}}^{\infty}2ae^{-a^2}da \\ &=-e^{-a^2}|_{1/\sqrt{\operatorname{SNR}}}^{\infty} \\ &=e^{-\frac{1}{\operatorname{SNR}}} \end{aligned}
在高信噪比条件下，根据(e^{-x}\approx x)，可以得到深衰落概率的近似表达式
P_{DF}\approx \frac{1}{\operatorname{SNR}}
将上述结论与Rayleigh衰落信道条件下的BER公式(*式)比较，可知BER和深衰落的概率均正比于信噪比的倒数，因此，高信噪比条件下，系统发生误码的概率正比于深衰落事件发生的概率。
分集的概念
从某种程度上讲，系统发生误码很大程度上是因为深衰落事件的发生，此时接收的功率很小，甚至低于噪声的功率，接收端无法分辨有用新号和噪声，因此发生判决的错误。
在单链路系统中，收发机之间只有一条无线链路，当这条链路发生“深衰落”时，系统发生误码的概率很高。为了解决“深衰落”的问题，需要提供额外的多个“备份”链路，当其中一部分链路发生深衰落时，其他的链路可能没有深衰落，系统的误码可能不会很高。也就是说，所谓的“分集”就是“额外的备份”。
[图片上传失败...(image-6da699-1530840938565)]
分集的实现有很多种，比如在接收端使用多个天线接收——接收分集；在发送端用多个天线发送——发射分集；在多个符号时间上发送同一个符号——时间分集；在多个频率上发送相同的符号——频域分集；在多个用户上传输——多用户分集，等等。
最大比合并（器）
考虑上图中的一发两收的通信系统，其中发送符号记为(x)，发送天线到两个接收天线之间的信道记为(h_1)和(h_2)，接收信号记为(y_1)和(y_2)，则系统模型如下式所示
y_1=h_1x+n_1 \\ y_2=h_2x+n_2
其中，(n_1)和(n_2)分别是两个接收天线上的高斯白噪声，它们具有三个特性：
- 零均值，即(E{n_1}=E{n_2}=0)
- 同方差，即(E{|n_1|2}=E{|n_2|2}=\sigma^2)
- 不相关，即(E{n_1n_2}=0)
将系统模型写成向量形式，为
\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2 \end{bmatrix}
也可以写成
\mathbf{y}=\mathbf{h}x+\mathbf{n}
可见，向量(\mathbf{y}=[y_1,y_2]^T)是分别在两个接收天线接收到的同一个发送符号的信号，我们需要通过某种方式合并这两个信号，用来获得一个输出信号。我们将这个输出信号记为(\tilde{y})，即
\tilde{y}=w_1y_1+w_2y_2
其中，(w_1)和(w_2)是“合并权重因子”，写成向量形式有
\begin{aligned} \tilde{y}&=[w_1,w_2]\mathbf{y} \\ &=\mathbf{w}^T\mathbf{y}\end{aligned}
代入接收信号的公式，得到
\begin{aligned} \tilde{y}&=\mathbf{w}^T(\mathbf{h}x+\mathbf{n}) \\ &=\mathbf{w}^T\mathbf{h}x+\mathbf{w}^T\mathbf{n} \end{aligned}
其中，第一项是接收的有用信号，第二项是噪声项。因此，接收信噪比可以表示为
\operatorname{SNR}=\frac{|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2P}{E\{|\mathbf{w}^T\mathbf{n}|^2\}}
我们先看噪声项的功率。由于
\begin{aligned} \mathbf{w}^T\mathbf{n}&=[w_1 w_2]\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2\end{bmatrix} \\ &=w_1n_1+w_2n_2\end{aligned}
所以
\begin{aligned} E\{(w_1n_1+w_2n_2)^2\}&=E\{w_1^2n_1^2+w_2^2n_2^2+2w_1w_2n_1n_2\} \\ &=w_1^2E\{n_1^2\}+w_2^2E\{n_1^2\}+2w_1w_2E\{n_1n_2\} \\ &=(w_1^2+w_2^2)\sigma^2 \\ &=\sigma^2\left \|\mathbf{w}\right \|^2 \end{aligned}
因此，接收信噪比为
\operatorname{SNR}=\frac{P|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2}{\sigma^2\left\| \mathbf{w} \right\|^2}
再来看有用信号的功率
\begin{aligned} \mathbf{w}^T\mathbf{h}&=[w_1 w_2]\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} \\ &=w_1h_1+w_2h_2 \\ &=\mathbf{w}\cdot\mathbf{h} \end{aligned}
可知，上式为信道系数和合并权重因子之间的点积。根据点积的公式
|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|=\left\|\mathbf{w}\right\| \left\|\mathbf{h}\right\| cos\theta
其中，(\theta)是向量(\mathbf{w})和(\mathbf{h})之间的夹角。
因此
|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2=\left\|\mathbf{w}\right\|^2 \left\|\mathbf{h}\right\|^2 cos^2\theta
所以
\operatorname{SNR}=\frac{P\left\|\mathbf{h}\right\|^2cos^2\theta}{\sigma^2}
什么条件下可以使得接收端的信噪比最大？显然，当(\theta=0)时，也就是当合并权重向量(\mathbf{w})与衰落信道向量(\mathbf{h})同向时，即
\mathbf{w}\propto \mathbf{h}
接收端信噪比达到最大值，(\frac{P\left|\mathbf{h}\right|2}{\sigma2})。进一步，假设合并权重向量为单位向量，即
\mathbf{w}=\frac{\mathbf{h}}{\left\|\mathbf{h}\right\|}=\frac{1}{\left\|\mathbf{h}\right\|}\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{|h_1|^2+|h_2|^2}}\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}
当合并权重向量按上式取值时，可以使得接收信噪比达到最大，因此，称这种合并方式为“最大比例合并”（MRC，此处的“比例”指的是信噪比），而向量(\mathbf{w})成为“最大比例合并器”。
将上述推导推广到复数域中或L个接收天线的情况，结论是类似的，只不过需要将向量的“转置”操作替换为“共轭转置”，即
\tilde{y}=\mathbf{w}^H\mathbf{y}=\mathbf{w}^H\mathbf{h}x+\mathbf{w}^H\mathbf{n}
网友评论