Lagrange力学到Hamilton力学

作者: xhje | 来源:发表于2019-12-01 22:07 被阅读0次

最近现代常微分方程上到了Hamilton系统, 但是我没搞懂Hamilton方程是怎么来的, 所以这两天看了一下Arnold写的《经典力学的数学方法》. 这书我看起来有些吃力, 不少记法和语言和我学流形时习惯的语言不太一致. 所以现把理解了的东西整理如下, 相当于是用我习惯的语言重新复述一遍. 不保证完全正确.

我们先从Lagrange力学开始, 并且先处理自治的情形.
设 $M$ 是一个 $n$ 维流形(一般而言, 它是某个力学系统的构型空间, 例如单摆的构型空间是 $\mathbb{S}^1$ ), $L\in C^\infty(TM)$ 被我们称为Lagrange函数. 设某质点在流形上处于 $x\in M$ 的位置, 并且具有初始速度 $v\in T_xM$ , 这样一来我们也可以认为该质点落在 $TM$ 上. 设 $x$ 附近有局部坐标 $(q^1,\ldots,q^n)$ , 这个坐标给出 $TM$ 上的局部坐标 $(q^1,\ldots,q^n,\dot q^1,\ldots,\dot q^n)$ , 注意这里 $q^i$ 上一点并不是对 $q^i$ 求导的意思, 而只是一个与 $q^i$ 区别开来的坐标变量. 在这个局部坐标下, 质点在 $TM$ 上的运动满足的Lagrange方程写为
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}=\frac{\partial L}{\partial q^i}\ \ \ \ \ \ i=1,\ldots,n$
展开来写就是
$\frac{ \partial^2 L }{\partial \dot{q}^i \partial q^j}\frac{ dq^j}{dt}+\frac{\partial^2L}{\partial \dot{q}^i \partial \dot{q}^j}\frac{d\dot{q}^j}{dt}=\frac{ \partial L}{\partial q^i}$
加上方程
$\frac{dq^i}{dt}=\dot q^i$
我们就有 $2n$ 个函数, $2n$ 个方程, 差不多可以解出来. 而且由于后 $n$ 个方程的存在, 我们还可以知道该质点在 $TM$ 上的运动也可以看作是在 $M$ 上的运动.

一般而言, Lagrange函数不会是太过任意的 $C^\infty(TM)$ 中的函数. 在实践中, 一般有 $L(x,v)=T(v)+V(x)$ , 其中 $V\in C^\infty(M)$ 是势能, 而动能 $T(v)=\langle v,v\rangle_g$ , $g$ 是 $M$ 上的Riemann度量.

到此为止, 这些都是可理解的十分经典的Newton力学的内容.

接着我们转向Legendre变换, 它把 $TM$ 上的光滑函数变为 $T^*M$ 上的光滑函数. 为此, 固定 $L\in C^\infty(TM)$ , 我们先定义一个映射 $f:TM\rightarrow T^*M$ (清晰地讲, 应该记作 $f_L$ , 因为 $f$ 是依赖于 $L$ 的). 我们以局部坐标的方式来定义它(事实上, 我们也可以内蕴地定义它, 即 $f$ 事实上是 $L$ 的纤维导数(fibre derivative), 但是我懒得再去学习这个定义了, 所以先将就着用局部坐标吧). 还是取 $M$ 上的局部坐标 $(q^i)$ , 它诱导出 $TM$ 和 $T^*M$ 上的局部坐标 $(q^i,\dot q^j)$ 和 $(q^i,p_j)$ , 我们定义 $f\left(\dot q^j\frac{\partial}{\partial q^j}\right)=\frac{\partial L}{\partial \dot q^j}dq^j$ , 这里已经用了Einstein求和约定. 我们需要验证这是良定义的.
假设还有另一个局部坐标 $(x^i)$ , 那么对于 $v=\dot q^j\frac{\partial}{\partial q^j}=\dot x^j\frac{\partial}{\partial x^j}$ 而言, 我们要证明 $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}dq^j=\frac{ \partial L}{\partial \dot{x}^j}dx^j$ . 事实上, $\dot q^j\frac{\partial}{\partial q^j}=\dot q^j\frac{\partial x^i}{\partial q^j}\frac{\partial}{\partial x^i}$ , 从而 $\dot x^i=\dot q^j\frac{\partial x^i}{\partial q^j}$ , $\frac{\partial\dot x^i}{\partial\dot q^j}=\frac{\partial x^i}{\partial q^j}$ . 然后
$\frac{\partial L}{\partial \dot q^j}dq^j=\left(\frac{\partial L}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial \dot q^j}+\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\frac{\partial\dot x^i}{\partial \dot q^j}\right)\frac{\partial q^j}{\partial x^k}dx^k$
$=\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\frac{\partial\dot x^i}{\partial \dot q^j}\frac{\partial q^j}{\partial x^k}dx^k=\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\frac{\partial x^i}{\partial q^j}\frac{\partial q^j}{\partial x^k}dx^k=\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\delta^i_kdx^k=\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}dx^i$
这正是我们需要的.
如果这样定义出来的 $f$ 是 $TM$ 到 $T^*M$ 的光滑同胚, 那么我们称 $L$ 是超正则的. 我们总假定 $L$ 是超正则的.
然后我们定义Hamilton函数 $H\in C^\infty(T^*M)$ , $H(v^*)=v^*(f^{-1}(v^*))-L(f^{-1}(v^*))$ . 在坐标下 $H$ 应该写为 $H(q^1,\ldots,q^n,p_1,\ldots,p_n)=p_j\dot q^j-L(q^i,\dot q^j)$ , 其中 $\dot q^j$ 应该按Legendre变换给出的方程组 $p^i=\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}$ 反解为 $p^i$ 的函数.

接下来是关键, 我们要说明为什么要这么做. 我们将在 $T^*M$ 上用Hamilton函数 $H$ 导出一个向量场(所谓Hamilton向量场), 这个向量场的流限制在 $M$ 上恰是原先Lagrange方程的解.
我们首先注意到, $T^*M$ 上有自然的辛结构(非退化的二阶微分形式) $\omega^2$ . 我们先注意到对 $\xi\in T_{(x,v^*)}(T^*M)$ , $\pi_*(\xi)\in T_xM$ , 这样我们可以定义 $\omega^1(\xi)=v^*(\pi_*(\xi))$ , 然后再定义 $\omega^2=d\omega^1$ . 可以验证, 在 $T^*M$ 的任何局部平凡化坐标 $(q^1,\ldots,q^n,p_1,\ldots,p_n)$ 下, 该辛结构都写为它的典则形式, 即 $\omega^2=dq^i\wedge dp_i$ .
有了辛结构, 我们可以证明 $T^*M$ 上存在唯一的一个向量场 $X$ 使得对任何 $T^*M$ 上的向量场 $Z$ , 有 $dH(Z)=\omega^2(Z,X)$ . 也就是说, 辛结构 $\omega^2$ 和Hamilton函数 $H$ 共同决定了这个向量场 $X$ , 我们称之为Hamilton向量场. 在局部坐标系下, 我们可以算出 $X=\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}-\frac{\partial H}{\partial q^i}\frac{\partial}{\partial p_i}$ , 于是 $X$ 诱导的流满足Hamilton方程组:
$\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q^i}\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{dq^i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}$
然后我们的重点来了, 这个流限制在 $M$ 上恰好就是原先Lagrange方程的解. 也就是说如果 $\gamma:I\rightarrow T^*M$ 是Hamilton方程的解, 那么 $f^{-1}(\gamma(t))$ 是Lagrange方程的解. 事实上,
$\frac{dq^i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}=\dot q^i+p_j\frac{\partial \dot q^j}{\partial p_i}-\frac{\partial L}{\partial q^j}\frac{\partial q^j}{\partial p_i}-\frac{\partial L}{\partial \dot q^j}\frac{\partial\dot q^j}{\partial p_i}$
$=\dot q^i+p_j\frac{\partial \dot q^j}{\partial p_i}-\frac{\partial L}{\partial \dot q^j}\frac{\partial\dot q^j}{\partial p_i}=\dot q^i+\left(p_j-\frac{\partial L}{\partial \dot q^j}\right)\frac{\partial\dot q^j}{\partial p_i}=\dot q^i$
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}=\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q^i}=-\frac{\partial}{\partial q^i}\left[p_j\dot q^j-L(q^i,\dot q^j)\right]$
$=-\left[p_j\frac{\partial\dot q^j}{\partial q^i}-\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{\partial L}{\partial\dot q^j}\frac{\partial\dot q^j}{\partial q^i}\right]=\frac{\partial L}{\partial q^i}$