扩展GCD(求逆元,解同余方程等等)

首先要知道gcd函数的基本性质:
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(|a|,|b|)=gcd(b,a%b)//已通过代码验
不知道辗转相除法的请点这里

扩展欧几里得算法:
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然
存在整数对 x，y ，使得 k*gcd（a，b）=ax+by。
代码如下:

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)//求出来的x,y就是这么多了.相当于全局变量
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;//r为a,b的最大公约数.
}

对以上代码的一些解释.
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
(因为x2,y2就是第一个递归来的,所以就可以根据递归来求出x1,x2).
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = kgcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)(即解一定存在,且答案为gcd(a,b)的整数倍)(所以下次看到要马上想到啊!!!)
//求出来的x是满足方程最小的那个x,所以有可能为负数,转换成满足方程的最小正数的方法是(x%a+a)%a,所以要根据题意来不断变换.

这个算法主要用于求//说实话,这个遇到题还真不好分析,真的只有多做题,提高自己的知识,再去做吧.
1:求解不定式
2:求解模线性方程(线性同余方程)
3:求解模的逆元

这里对求解不定式再做一定的说明,所有的我们都转换成求ax+by=gcd(a,b),然后再根据题意在方程的两边同时乘一定的数从而转换成我们要求的那个方程.然后考虑下x的正负就可以了.

具体操作步骤请看水题poj1061