矩阵与线性变换

一个二维线性变换仅有四个数字完全确定，即变化后的 i 向量和变换后的 j 向量，通常把它们放在一个 2×2 矩阵里。

矩阵在这里只是一个记号，它含有描述一个线性变换的信息（下图向量[x y]仅仅是此变换对应的基向量）

**线性变换是操纵空间的一种手段

矩阵乘法与线性变换复合

对向量的变化使用左乘

可将上述式子写为如下矩阵乘积：两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用

而这样的式子应该从右往左读，在上式中也就是先运用旋转矩阵，再运用剪切矩阵描述的变化（它起源于函数的记号，因为我们将函数写在变量左侧）

首先我们考虑第一个变化中 i 向量即[0 1]的变化，可以求出复合矩阵的第一列。同理得到 j 向量的变化并求出复合矩阵的第二列

这样便可以得到矩阵相乘的普遍公式。同样的用向量的多次变换也可以解释矩阵满足结合律而不满足交换律

三维空间中的线性变换

根据二维空间的变换表示，那么三维甚至更高维空间的变换也可以理解。三维空间有三个不相关向量，因此需要9个数字就可以确定在空间的一种变换。计算方式类似于二维空间

行列式

线性变换改变（二维空间中）面积的比例，被称为这个变化的行列式（而负值的行列式则是将该空间进行重新定向）
行列式为0表示空间被压缩

逆矩阵、列空间与零空间

如下对方程组的运算，就是为矩阵A找到一个线性变换，从而到达向量v的位置

逆矩阵及变换

秩代表变化后空间的维度
所有变化的集合成为矩阵的列空间，也就是说列空间就是矩阵的列所张成的空间
秩又可以表示列空间的维数，秩最大时，表示秩与列数相等

列空间解释了什么时候存在解，即张成的空间有落在未知向量表示的空间时有解

变换后落在原点向量的集合，被称为矩阵的零空间或核
（零空间给出的就是向量方程所有可能的解）

非方阵

右下图，这是一个从三维空间到二维空间的变换

点积

点积

需要注意的是：点积与顺序无关，也可以向向量 w 投影，结果一样。

两个向量相乘，就是将其中一个向量转化为线性变换（在数值上强调它可能显得没有意义）

叉积

两个向量的叉积的绝对值为平行四边形的面积（这里将向量写作矩阵的列，而教科书中大多将向量写作矩阵的行。两种结果没有差异，因为转置不改变行列式的值。这里选择按列处理向量是为了更加直观））

向量叉积的方向
右手定则：食指指向 v 向量方向，中指指向 w 向量方向，那么大拇指指向的方向即为两向量叉积的方向即向量叉积的方向垂直于形成的平行四边形