IOS 莱布尼茨公式计算圆周率π

作者: ShawnAlex | 来源:发表于2020-06-09 09:37 被阅读0次

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圆周率其实就是一个圆周长与直径的比值我们通常用希腊字母π表示, 他的计算公式有多种, 其中用莱布尼茨公式是这样

$\frac{π}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} ......$ 即: $\frac{π}{4} = \sum_{n=0}^∞ \frac{(-1)^n }{1 + 2n}$

如果你想知道为什么? 既然你诚心诚意的发问了, 我就大发慈悲的告诉你!

首先看一下等比数列求和公式

$S_{n}$ = $n_{}$ $\times$ $a_{1}$ ( $q$ = 1)

$S_{n}$ = $a_{1}$ $\times$ $\frac{1-q^n }{1-q}$ = $\frac{a_{1} - a_{n} \times q }{1- q }$ ( $q \neq 1$ )

那么针对于下面的等比数列, 我们先证明下这个公式

$1 + x^1 + x^2 + x^3 + ... + x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

针对于上面公式我们可看到当 $n$ 趋向于无穷大, $x$ $\in$ (-1, 1) 时, 上面可以写成

$1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n = \frac{1}{1-x}$

我们令 $x$ = $-x^2$ 带入上方公式可得

$1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... = \frac{1}{1 + x^2}$

两边积分可得

$x + \frac{x^3 }{3} + \frac{x^5 }{5} + \frac{x^7 }{7} ... = arctan(x)$ $(\tan ^{-1} x )$

此时, 我们将 $x = 1$ 带入可得

$1 - \frac{1 }{3} + \frac{1 }{5} - \frac{1 }{7} ... = arctan(1) = \frac{π}{4}$

我们便得到了莱布尼茨公式, 但是有些心细的人可能注意到了你 $x = 1$ 并不在 $x \in (-1, 1)$ 区间啊

接下来我们就证明当 $x = 1$ 时上面收敛于 $arctan(1)$ 即可

我们现在已知 $1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... = \frac{1}{1 + x^2}$ $x \in (-1, 1)$

对于上面等比数列, 我们对 n+1 项求和可得

$\frac{1-(-1)^{n+1}x^{2n+2} }{1+x^2 } = \frac{1}{1+x^2}$ 即 $\frac{1}{1+x^2} - \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2} }{1+x^2 } = \frac{1}{1+x^2}$

我们把减项移到左边可得

$1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... +{-1}^nx^{2n} + \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2} }{1+x^2 } = \frac{1}{1 + x^2}$ $x \in (-1, 1)$

我们对上面等式做 0到1上积分可得

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ...\frac{-1^n }{2n+1} + (-1)^{n+1} \int_{0}^{1} \frac{x^{2n+2}}{1+x^2} dx = \frac{π}{4}$

接下来我们只需证明当 $n \rightarrow ∞$ 最后一项为0 即可

$0\leq \int_{0}^{1} \frac{x^{2n+2}}{1+x^2} dx\leq \int_{0}^{1} \ x^{2n+2} dx = \frac{1}{2n+3} \rightarrow 0$

所以我们证明出π的莱布尼茨公式成立

接下来我们用OC 和 Swift 写下这个公式, 即计算下π, 两边乘4可得

$π = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} ....$ 我们可以直接对这个无穷序列进行建模,

我们可看到分子是4, 分母为首项为1, 公差为2 的等差数列, 同时还需留意每一项需要乘上 $-1^n$ (这里我默认首项 index为0)

OC写法:

```

- (CGFloat)calculatePi:(NSInteger)position{

NSInteger num4 = 4;

CGFloat series = 1;

NSInteger pro = 1;

CGFloat result = 0;

for(NSInteger i = 0; i < position; i++){

result += pro * (num4 / series);

series += 2;

pro *= -1 ;

}

return result;

}

```

调用, 当我们执行50000次时候

CGFloat result = [self calculatePi: 50000];

NSLog(@"返回结果: %f", result);

返回结果: 3.141573

当次数趋近无穷大时候, 结果趋近于π

Swift写法:

```

func calculatePi(position: NSInteger) -> CGFloat {

let num4: CGFloat = 4;

var series: CGFloat = 1;

var pro: CGFloat = 1;

var result: CGFloat = 0;

for _ in 0..<position {

result += pro * (num4 / series);

series += 2;

pro *= -1 ;

}

return result;

}

```

附:

同样执行1,000,000 次打印

swift执行速度为13s左右, 而OC执行为2分15秒左右, 可见swift运行效率非常快, 而且精度swift更高一些

OC, 可见swift运行效率更高一些

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