线性规划实战—投资的收益和风险

本章涉及知识点

1、前言

2、案例问题的提出

3、决策变量的选择

4、基本情景的假设

5、模型的分析和建立

6、多目标函数简化为单目标函数

7、python编程求解模型

8、案例结果分析

9、心得体会

一、前言

线性规划有着广泛的实践应用，通过有效的组合现有资源来安排生产，来生成一个获取最大经济效益的plan。在运筹学领域里，其已经构成了一个重要分支—数学规划。关于线性规划的表述形式、单纯形算法的原理、以及使用单纯形算法求解目标函数的知识点，我已经在上一篇文章线性规划的算法分析讨论分析过了

在解决实际问题的过程中，我们需要先把问题高度抽象为一个线性规划的数学模型，通过选择合适的决策变量，然后做出合理的情景假设，最后用严谨的算法来求解模型，本篇文章打算用一个实际案例，来说明数学建模到编程实现的思维殿堂过程

二、案例问题的提出

市场上有n种资产si提供任意选择，现在用数额相当大的M作一个时期的投资，已知这n中资产在这一时期内购买si的平均收益率分别为ri，风险损失率分别为qi，而投资的总体风险可以用购买若干个si中最大的一个风险来度量，在购买si时要付交易费，费率分别为pi，当购买的金额不超过定值ui时，交易费按照购买ui来计算，另外，假定同期的银行存款利率为r0，银行利率既无交易费，又没有风险（r0=5%）

已知n=4时的相关数据如下

n=4时的相关数据

现用给定的资金M，有理性选择地购买若干资产或者存放银行生息，使得这一时期的净收益尽可能大，总体风险尽可能小，求这个投资方案？

三、决策变量的选择

（1）si表示第i种投资项目，如股票，债券等，i=0,1,2,...n，且s0表示存入银行生息

（2）ri，qi，pi分别表示si的平均收益率、风险损失率和交易费率，i=0,1,2,...n，且r0表示银行存款利率，显然当i=0的时候，p0=q0=0，表示银行生息既无交易费又无风险

（3）ui表示购买si时的交易常量定额，i=1,2,...n

（4）xi表示购买si的资金注入，i=0,1,2,...n

（5）a表示投资风险界限

（6）Q表示总体收益

四、基本情景的假设

（1）投资数额M相当大

（2）投资越分散，总的风险越小

（3）投资方案的总体风险度，用购买的si中最大的一个风险来度量

（4）这n+1种资产si之间是完全相互独立的

（5）在购买投资的这一时期内，ri，pi，qi为定值常量，不会受到外界政治因素的影响而改变

（6）净收益和总体风险度只受限于ri，pi，qi这三个参数，不会受到外界政治因素的影响而改变

五、模型的分析和建立

我们根据上述的决策变量和基本情景的假设，可以有效的用数学语言来翻译题目中的各个条件

购买si的需要承担的风险为：

购买si的需要承担的风险

购买si产生的交易费为：

购买si产生的交易费

这里因为ui为一个定值常量，相对M显得非常的小，故我们可以简化分段函数的交易费为pixi

购买si产生的总收益为：

购买si产生的总收益

购买si产生的净收益为：

购买si产生的净收益

购买si需要总花费为：

购买si需要总花费

而我们的投资方案需求为：净收益尽可能大，总体风险尽可能小

翻译为数学语言就变成如下的目标函数

目标函数

而上述目标函数是有约束条件限制的，我们需要考虑购买若干si产生的总费用必须等于总投资数额M，故约束条件可以翻译为如下数学语言

约束条件

至此，我们通过对问题的分析提取和情景的假设，将原始问题翻译为一个个数学语言，最终建立了一个以线性规划为基础的数学模型，而这个模型是带着等式约束条件和两个目标函数的多目标线性规划模型

六、多目标函数简化为单目标函数

为了更好的使用单纯形算法来求解模型，我们希望将模型中的多目标函数，化简为单目标函数

由于在实际投资对象中，每个投资者都会承担不一样的风险程度，小户型投资者只能承受低风险，而赌徒型投资者愿意承担高风险（只要他们愿意相信高回报），为此我们可以设置一个参数a用来表示该投资方案的风险界限，用它来约定限制投资方案的总风险和总投资数额的比率，即：

风险界限

则我们可以将风险最小的目标函数变化为用风险界限a来约束限制的不等式约束条件，原数学模型可以变形为：

单目标函数的数学模型

至此，我们就转化得到了单目标函数的线性规划数学模型，下面就可以使用单纯形算法来求解模型了

七、python编程求解模型

我们根据上述建立的数学模型，带入案例的数据来写出案例的具体模型

案例线性规划模型

其中我们假设总投资M=1，a即是风险界限，我们可以从a=0开始以常数值的步长来循环计算出与不同风险对应的目标函数最优解收益

我们使用上一篇文章实现的单纯形算法来求解，具体算法之前文章已经详细说明，我们这里直接写业务代码即可

案例业务代码

这里我们固定了总投资M=1，循环迭代了在步长为0.001的风险度下，单纯形算法求解出对应的最大利益，当风险超过0.05时停止计算并画图来显示结果

八、案例结果分析

案例结果

不同的风险，对应计算出不同的利润如下

风险/利润关系-1 风险/利润关系-2

从结果上观察分析，我们可以推理出以下几点信息：

（1）当风险增大时，收益也在随之增大

（2）在a=0.006附近有第一个拐点A，在a=0.025附近有第二个拐点B

（3）当在A点的左边时，函数斜率很大，即风险增加很少时，利润增长很快

（4）当在A点和B点之间时，函数斜率变小，即风险增加很多时，利润增长较慢

（5）当在B点右边时，函数的斜率达到最小，即随着风险的不断增加，利润基本保持不变

（6）当投资越分散的时候（即购买的产品越多），投资者承担的风险就越小，利润也相对较小

（7）当投资越集中的时候（即购买产品较为单一），投资者承担的风险就越大，利润也相对较大

根据以上的推理，作为金融理财经理或者交易员，我们可以得出下面2条建议

（1）保守投资者，应该选择拐点A作为最佳投资组合

（2）冒险投资者，应该选择拐点B作为最佳投资组合，而B点之后的点由于收益增长太慢应该放弃

A点的投资组合为：

风险度a=0.006，收益Q=0.2019，x0=0，x1=0.24，x2=0.4，x3=0.1091，x4=0.2212（分散投资）

B点的投资组合为：

风险度a=0.025，收益Q=0.2673，x0=0，x1=0.9901，x2=0，x3=0，x4=0（集中投资）

九、心得体会

我们通过一个实际的案例，体验了金融+数学+编程的整个思维建设推导过程，从现实问题的抽象、数学语言的翻译、数学模型的建立，再到求解模型的算法分析和编程实现，最后从结果中证明了符合情景假设和得到最优的收益方案，可以看到数学思维建模之美！

最后我们需要说明，一切的编程推理都出自于数学模型的建立，而模型的建立往往依赖于我们的情景假设约定，如案例里我们约定ri，qi，pi在投资的这一时期是常量，不会受到外界隐私的干扰，可是现实世界里，这些参数往往会受到市场变动，战略生成，政策下达等影响而发生突变，为此我们数学建模计算得到的收益方案，只能是存在于理论假设阶段里，其作为最终制定投资方案的一个参考意见

案例代码见：线性规划实战—投资的收益和风险