美文网首页
Two Sample t-test

Two Sample t-test

作者: 何物昂 | 来源:发表于2020-12-06 22:14 被阅读0次

    Two Sample t-test

    单样本t检验用于检验两个总体的均值是否相等。两总体都是未知的,且我们不想或不易测量出总体所有的个体,来求得总体均值。所以我们从总体中随机抽样得到样本。对两样本进行统计检验,来看两样本差异是否显著。

    案例

    1. 若我们想知道两个不同物种的乌龟的平均重量是否相等。我们可以进行随机抽样选择部分乌龟来代表总体乌龟。由于存在误差,两个物种样本的平均重量是存在差异的。而我们可以通过two sample t-test知道它们之间的差异是否显著。
      image

    前提假设

    为使two sample t-test结果有效,需要满足一些条件。

    1. 两总体相互独立
    2. 两总体均服从正太分布,且两总体方差相等,若不相等考虑Welch’s t-test
      • 样本应近似正太分布,以及两样本方差也因近似相等

    假设检验步骤

    1. 确定零假设:
      • H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}, 假设l两总体均值相等,\mu_{1}等于\mu_{2}
    2. 确定备择假设,这里有3种假设方法,根据实际问题进行假设:
      • H_{1}: \mu_{1}\ne\mu_{2}, 双侧检验,总体均值\mu_{1}不等于\mu_{2}
      • H_{1}: \mu_{1}<\mu_{2}, 双侧检验,总体均值\mu_{1}小于\mu_{2}
      • H_{1}: \mu_{1}>\mu_{2}, 双侧检验,总体均值\mu_{1}大于\mu_{2}
    3. 计算检验统计量t:
      t=\frac{(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})}{S_p(\frac{1}{n_{1}}-\frac{1}{n_{2}})}

    其中:
    - \bar{x_1}, \bar{x_2}: 样本均数
    - n_1, n_2: 样本大小
    - S_{p}计算 S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)S^{2}_{1}+(n_2-1)S^{2}_{2} }{n_{1}+{n_{2}-2}}}
    - S^{2}_{1}, S^{2}_{2}: 样本方差

    1. 计算p-value:
      选择一个显著性水准\alpha,(一般为0.01,0.05,0.1),然后根据\alpha和自由度df$$(n-1),去找到相应的P-value。可以去查t界值表或者通过程序计算出来。

    实例计算

    以之前乌龟为例,若样本数据为:
    - 样本大小: n_1 = 40n_2=38
    - 样本均值: \bar{X_1} = 300\bar{X_2}=305
    - 样本标准差: S_1 = 18.5S_2=16.7

    建立检验假设,检验水准

    • H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} ,即假设两物种乌龟总体平均重量相等
    • H_{1}: \mu_{1}\ne\mu_{2},即两物种乌龟总体平均重量不相等
    • \alpha=0.05

    计算t检验统计量:
    S_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)S^{2}_{2} + (n_2-1)S^{2}_{2} }{n_1+n_2-2}} = \sqrt{\frac{(40-1)18.5^2+(38-1)16.7^2}{40+38-2 }} = 17.647
    t=\frac{(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})}{S_p(\frac{1}{n_{1}}-\frac{1}{n_{2}})}= \frac{300-305}{17.647(\sqrt{\frac{1}{40}+\frac{1}{38}})} = -1.2508
    df = n_1+n_2-2=40+38-2=76
    \nu=76、|t|=|-1.2508|=1.2508 为输入通过程序T Score to P Value Calculator计算,可得出P=0.21484
    确定结论
    p=0.21484>\alpha=0.05, 故不拒绝零假设H_{0},差异无统计学意义。没有充分理由说明两个乌龟物种的平均重量不相等。

    Python 代码实现

    一般常见的算法,都是有Python库封装好的了,我们直接调用它给的接口就行了。
    这里借助一个Python科学计算库 scipy, 一般可以通过命令pip install scipy安装。

    import numpy as np
    import scipy.stats as stats
    
    ## 研究者想知道两种植物的平均高度是否相等,所以他们各搜集了20株植物
    ## group1,group2分别为两个植物样本身高
    group1 = np.array([14, 15, 15, 16, 13, 8, 14, 17, 16, 14, 19, 20, 21, 15, 15, 16, 16, 13, 14, 12])
    group2 = np.array([15, 17, 14, 17, 14, 8, 12, 19, 19, 14, 17, 22, 24, 16, 13, 16, 13, 18, 15, 13])
    
    # 确定总体方差是否相等
    # 根据经验,如果较大的样本方差与较小的样本方差之比小于4:1,我们可以假定总体具有相同的方差。
    print(np.var(group1), np.var(group2))
    # 7.73 12.26  # 12.26 / 7.73 = 1.586,小于4。这意味着我们可以假设总体方差相等
    
    
    ## 通过stats.ttest_ind 进行两样本t检验
    res = stats.ttest_ind(a=group1, b=group2, equal_var=True)
    print("t statistic: ", res.statistic)
    print("P Value: ", res.pvalue)
    ## output
    ## t statistic:  -0.6337397070250238
    ## P Value:  0.5300471010405257
    

    stats.ttest_ind 的参数ab分布是第一个样本和第二个样本;equal_var只两个总体方差是否相等。默认为True,若为False应使用Welch’s t-test

    结果说明:
    H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} 假设两种植物平均高度相等
    H_{1}: \mu_{1}\ne\mu_{2} 该植物平均高度不相等

    因为此次检验p-value(0.53005) 大于 \alpha=0.05, 不能拒绝H_{0},所以没有充分的证据说明两植物的平均高度不同。

    R代码

    t-test在R里使用t.test进行计算

    > group1 <- c(14, 15, 15, 16, 13, 8, 14, 17, 16, 14, 19, 20, 21, 15, 15, 16, 16, 13, 14, 12)
    > group2 <- c(15, 17, 14, 17, 14, 8, 12, 19, 19, 14, 17, 22, 24, 16, 13, 16, 13, 18, 15, 13)
    > ?t.test
    > t.test(group1, group2, alternative = "two.sided", var.equal = T, mu=0)
    
        Two Sample t-test
    
    data:  group1 and group2
    t = -0.63374, df = 38, p-value = 0.53
    alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
    95 percent confidence interval:
     -2.726335  1.426335
    sample estimates:
    mean of x mean of y 
        15.15     15.80 
    

    t.test 中的参数设置:

    • alternative设置备择假设的单双尾检验,默认为"two.sided" ,双尾检验,单位设置成"greater"或"less"
    • 参数mu,为两总体的差异均值,这里设为0,因为假设了两总体均值相等。所以差值为0。
    • var.equal, 两总体方差是否相等

    最后的结果和Python中的一样,甚至更详细。

    参考

    Two Sample t-test: Definition, Formula, and Example

    相关文章

      网友评论

          本文标题:Two Sample t-test

          本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/kgcawktx.html