函数

  什么是函数？简单的来说就是几个量，几个集合之间的对应关系，可以说函数就是一种关系。就比如我们非常熟悉的路程模型，里面会涉及到路程，速度，还有时间三个量，这三个量之间的关系就可以用函数的形式表示，当然生活中还有很多的量之间可以通过函数表示。

在一个模型中，所有的量可以大体分为两种，一个是变量，一个是常量。  变量就是一个一直在变化的量，常量则是一个一直不变恒定的量。但是变量只有一种吗？比如说我们所说的路程和时间，这两个变量之间是否有逻辑上的先后顺序？也就是说是路程随着时间变，还是时间随着路程变？显然应该是路程随着时间变，时间逐渐增长路程也会随着越来越大，说明变量之间也是有先后逻辑顺序的。像时间这一类的量，自己变化的量就叫做自变量。像路程这一类的，随着另外一个变量而变化的量，就叫做因变量。

  在我们清楚了函数中各个量之间的关系后，下一步就是要将这种关系表示出来。那么我们该如何表示呢？首先我们可以用表格的方法。如图：

我们在列表格的时候，通常会把自变量放到上面，因变量放到下边，这样就可以非常清晰的体现出是因变量在随着自变量的变化而变化。通过表格的方法，我们可以很清晰的看到每一组数据，每一个时间相对应的路程，非常的清晰简洁，这是它的优势，但它的劣势就是无法体现出整整体的趋势，并且表格也是有限制的，并不能表示出所有的可能。

  除了表格的方法，我们还可以用代数式，那么我们如何用代数式来表示时间和路程的关系？我发现路程用X代表时间，用Y代表路。我们可以x代表时间，用y代表路程，代数式表示就是y：x=60，或者我们也可以表示为y=60x，相比之下还是第2个代数式会更加符合我们的认知观念，更加方便。在写代数式的时候，我们通常会把因变量放到等号左边，因为我们所关注的就是因变量。用代数式的方法表示可以将所有的可能，普遍规律都表示出来，给出任意一个时间，就可以直接通过此代数式得到其相应的路程，非常的方便。但是这样的方法却不能表示出每一组相对应的量，它只是一个整体的规律。

  同样我们还可以利用画图的方法，也就是直角坐标系。首先画出来一个坐标系，然后再分别通过两个轴上的数字确定唯一的一个点，最后把所有点连起来。这个直角坐标系共分为两条轴，一个是X轴，一个是Y轴，他们各自有正负两个方向，合在一起就是下图：

这也就是完整的直角坐标系，一共组成了4个象限，但是基于我们的实际情景，只需要用到其中的一个象限，因为路程和时间不可能为负数。接下来我们只需要将每一组数据唯一对应的一个点在轴上标出来就可以了，如图：

这就是图像法。这样的方式可以很清晰的直观，让人感受到整体的趋势，但是却很难快速的得到每一组数据相对应的量。

  而函数也是有不同类型的，相对应的它的函数图像也就不一样。就比如说我们之前所学过的正比例函数，其中的一个变量随着另一个的变量的变化而变化，最终他们的比值始终不变，就像是刚才我举例的路程模型一样。而他们的图像也都是一条直线，任何一个正比例函数也都可以用y=kx来表示，这每个字母的含义其实也不一样。 Y和X都是变量，而K是一个常数，我们也可以把这个代数式变一下，通过乘除互逆就可以得到y/x=k，他们的比值始终是这个常数项K，这就是我们一直在说的正比例函数。

  除了正比例函数还有一项和它非常相似，但是也有不同之处的函数。我们先看下图，这是一组变量之间的关系图， X表示弹簧上所挂物体的质量，y是弹簧的长度。显然自变量就是所挂物体的质量，而因变量就是弹簧的长度，弹簧的长度会随着所挂物体的重量增大而增大。我们同样可以用代数式表示它们的关系，y=0.5x+3。

我们也可以用图像的方法表示。

我发现这个函数和正比例函数有相同之处，首先它们的函数图像都是一条直线。但是他们也有不同的地方，比如说函数图像并不过原点。代数式也有差异，这个函数图像的y=kx+n表示， Y和K分别代表变量，而K和N是一个常数项，我们来对比一下正比例函数，正比例的函数是Y=kx，会发现这个函数图像在正比例函数的图像基础上加了一个常数项。我们也可以给他命名，就叫一次函数，因为它的字母指数是1，所以是一次。感觉这两个函数好像完全不一样，但是他们其实也有着巨大的相似之处，可以说正比例函数就是特殊的一次函数，一次函数包括了正比例函数。

  不止这几个函数图像，还有着很多更加复杂的函数，同样也对应着更加复杂的关系。生活中有无数种变量，而某些变量之间就存在着极其紧密的联系和规律，也可以表示为函数的形式，当然这些也要等我们之后再继续探索。