算法详解

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。Tarjan算法有点类似于基于后序的深度遍历搜索和并查集的组合，充分利用回溯来解决问题。
在Tarjan当中，主要维护以下几个变量：
dfn[i]维护节点i在该图进行dfs时的次序；
low[i]维护节点i最早能回溯到的节点的编号；
vis[i]维护节点i是否已被访问过；
在Tarjan算法运行时，在我们对图进行dfs的过程中，对于每一个节点u和与它相连的节点v，我们进行如下操作：
如果节点v还未被访问过，那么我们就对v进行dfs，通多定义我们就能够得知，这时low[u]=min(low[u],low[v])；
如果说v已被访问过，即v节点已在栈中，那么这时我们就需要用v的dfn值来更新u的low值，有定义可知low[u]=min(low[u],dfn[v])；
对于一个连通图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个节点u的DFN值和low值相等，所以我们在回溯的过程中就能够通过判断节点的low值和DFN值是否相等来判断是否已经找到一个子连通图。由于该连通图中的DFN值和low值相等的节点是该连通图中第一个被访问到的节点，又根据栈的特性，则该节点在最里面。所以能够通过不停的弹栈，直到弹出该DFN值和low值相同的节点来弹出该连通图中所有的节点。
另外附上一张其他神犇推演Tarjan的演算图：

关于对在一个强连通图中有且仅有一个点的dfn与low相等这一结论的证明，请访问博客：http://blog.csdn.net/jeryjeryjery/article/details/52829142?locationNum=4&fps=1
下面是C++模板代码实例：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn=1e5+10;
vector<int>map[maxn];//用vector来存图
int stack[maxn];//栈 
int dfn[maxn];//节点在dfs时的次序
int low[maxn];//节点最早能够追溯到的节点编号
bool vis[maxn];//节点是否被访问过
int time=0;//时间戳
int top=-1;//栈顶标记
int cnt=0;//强连通分量个数
int n,m;//节点数与边数

inline int read(){//快读
    int x=0,flag=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){
        if(c=='-')
            flag=-1;
        c=getchar();
    } 
    while(c<='9' && c>='0'){
        x=x*10+(int)(c-'0');
        c=getchar();
    }
    return x*flag;
}

inline void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++time;
    stack[++top]=u;//入栈 
    vis[u]=1;
    int len=map[u].size()-1;//因为在vector中数组从零开始，所以减一
    for(int i=0;i<=len;i++){
        int v=map[u][i];
        if(!vis[v]){//没访问过 
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]); 
        }
        else//访问过 
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u]){//找到强连通分量
        cnt++;
    //开始出栈
        int j;
        do{
            j=stack[top--];
            vis[j]=0; 
        }while(j!=u); 
    } 
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));//初始化
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(vis,0,sizeof(vis)); 
    n=read();
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;
        x=read();
        y=read();
        map[x].push_back(y);
    }
    tarjan(1);
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}