空间中线线角的求法

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-03-10 11:26 被阅读0次

立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】

类型一空间中线线角的求法

方法一用平移法求空间中的线线角

用平移法求空间中的线线角

使用情景：空间中线线角的求法
解题步骤：

第一步首先将两异面直线平移到同一平面中；
第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；
第三步得出结论.
【例】在下图的正方体中， $M$ 、 $N$ 分别为棱 $BC$ 和棱 $CC1$ 的中点，则异面直线 $AC$ 和 $MN$ 所成的角为（）

A． $30°$ B． $60°$ C． $90°$ D． $45°$
【答案】B.

【解析】直线 $MN$ 与直线 $AD_1$ 平行， $\triangle ACD_1$ 为正三角形，此时 $AD_1$ 与 $AC$ 所成角为 $60^\circ$ ，因此一名直线 $AC$ 和 $MN$ 所成的角为 $60^\circ$ .

方法二空间向量法求空间中的线线角

空间向量法求空间中的线线角

使用情景：空间中线线角的求法
解题步骤：

第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标；
第三步再利用 $\cos \theta=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right|$ 即可得出结论.
【例1】、如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AC=BC=AA_1=3$ ， $AC\bot BC$ ，点 $M$ 在线段 $AB$ 上.
（1）若 $M$ 是 $AB$ 中点，证明： $AC_1 ∥$ 平面 $B_1CM$ ；
（2）当 $BM=\sqrt{2}$ 时，求直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角的正弦值.

【分析】
（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行

（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.

【解析】

（I）证明：连结 $BC_1$ ，交 $B_1C$ 于 $E$ ，连结 $ME$

因为直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ ， $M$ 是AB中点，

所以侧面 $BB_1C_1C$ 为矩形，

$ME$ 为 $\triangle ABC_1$ 的中位线，所以 $ME\parallel AC_1$

因为 $ME \subset$ 平面 $B_1CM$ ， $AC_1 \not\subset$ 平面 $B_1CM$

所以 $AC_1 ∥$ 平面 $B_1CM$

（II） $\because AC\bot BC$ ， $CC_1 \bot$ 平面 $ABC$ ，故如图建立空间直角坐标系

$B_1(0,3,3)$ ， $A(3,0,0)$ ， $B(0,3,0)$ ， $C(0,0,0)$ ，

$BA=3\sqrt{2}$ ， $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}=(1,-1,0)$

$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=(0,3,0)+(1,-1,0)=(1,2,0)$

令平面 $B_1CM$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$ ，

由 $\begin{cases}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CB_1}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{CM}=0\end{cases}$ ，得 $\begin{cases}y+z=0 \\ x+2y=0\end{cases}$

设 $z=1$
所以 $\vec{n}=(2,-1,1)$ , $\overrightarrow{C_1A_1}=\overrightarrow{CA}=(3,0,0)$ ，

设直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角为 $\theta$ .

$\sin \theta=\dfrac{|\overrightarrow{C_1A_1}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{C_1A_1}||\vec{n}|}=\dfrac{6}{3\sqrt{4+1+1}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

故当 $BM=\sqrt{2}$ 时，直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

【总结】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；

第四，破“应用公式关”.

【例2】、如图，正方形 $AMDE$ 的边长为 $2$ ， $B$ 、 $C$ 分别为线段 $AM$ 、 $MD$ 的中点，在五棱锥 $P-ABCDE$ 中， $F$ 为棱 $PE$ 的中点，平面 $ABF$ 与棱 $PD$ 、 $PC$ 分别交于点 $G$ 、 $H$ ．

（1）求证： $AB \parallel FG$ ；
（2）若 $PA \perp$ 底面 $ABCDE$ ，且 $PA=AE$ ，求直线 $BC$ 与平面 $ABF$ 所成角的大小．

【分析】
（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得 $AB \parallel DE$ ，从而有 $AB \parallel$ 平面 $PDE$ ．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明.