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期望与方差之五：两个独立随机变量合并后的方差

期望与方差之五：两个独立随机变量合并后的方差

作者: 艾辛图 | 来源:发表于2020-09-23 07:11 被阅读0次

    本系列前面四篇文章，均为本文铺垫。本文我们将要推导统计学入门时一个十分让人困惑的公式：

    Var(X \pm Y) =Var(X) + Var(Y)

    或者写成：

    \sigma_{x \pm y}^2 = \sigma_{x}^2 + \sigma_{y}^2

    这组公式表示，合并两个随机变量后的方差，不管是相加还是相减，结果都等于这两个随机变量的方差之和。这个结论并不直观，要证明它的正确性，我们首先要证明另一个等式：

    Var(X) = E((X - \mu)^2) = E(X^2) - E^2(X)

    这里E((X - \mu)^2)就是Var(X)，\mu就是这个总体的期望值，即均值，也可记为E(X)。详细可见本系列文章第一篇。回到上面式子的证明：

    E((X-\mu)^2) = \frac{(x_{1}-\mu)^2 + (x_{2}-\mu)^2 +... + (x_{n}-\mu)^2}{n}

    =\frac{( x_{1}^2-2\mu x_{1} + \mu^2) + ( x_{2}^2-2\mu x_{2} + \mu^2) + ... + ( x_{n}^2-2\mu x_{n} + \mu^2)}{ n}

    =\frac{(x_{1}^2 + x_{2}^2 + ... + x_{n}^2) -2\mu (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}) + n\mu^2}{n}

    =\frac{(x_{1}^2 + x_{2}^2 + ... + x_{n}^2)}{n} -2\mu \frac{x_{1} + x_{2} + ...x_{n}}{n} + \frac{n\mu^2 }{n}

    =E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2 =E(X^2) - E^2(X)

    证毕

    现在回到Var(X \pm Y) = Var(X) + Var(Y)的证明。不妨直接证明Var(X - Y)的情况：

    Var(X - Y) = E([(X - Y) - E(X - Y)]^2)

    来到这一步，我们马上用上 E((X - \mu)^2) = E(X^2) - E^2(X)这个结论。于是，上式可以变成：

    E((X-Y)^2) - E^2(X - Y) = E(X^2 - 2XY + Y^2) - (E(X) - E(Y))^2

    = E(X^2) - 2E(XY) + E(Y^2) - E^2(X) + 2E(X)E(Y) - E^2(Y)

    =E(X^2) - E^2(X) + E(Y^2) - E^2(Y) + 2E(X)E(Y) - 2E(XY)

    可以留意到，前面四项，实质就是我们的最终结论:

    E(X^2) - E^2(X) = Var(X)

    E(Y^2) - E^2(Y) = Var(Y)

    剩下的任务，就是要证明2E(X)E(Y) - 2E(XY) = 2(E(X)E(Y) - E(XY)) = 0

    也就是，只要证明E(X)E(Y) = E(XY) 即可。

    证：

    设总体X有m个元素，而总体Y有n个元素，有：

    E(XY) = \frac{x_{1}y_{1} + x_{1}y_{2} +..+ x_{1}y_{n} + x_{2}y_{1} + x_{2}y_{2} + .. + x_{2}y_{n}+....}{m \times n}

    = \frac{x_{1}(y_{1}+..y_{n}) + x_{2}(y_{1}+..y_{n}) + ....x_{m}(y_{1}+..y_{n})}{m \times n}

    = \frac{(x_{1} + x_{2} + ...x_{m})(y_{1} + y_{2}+...y_{n})}{m \times n} =\frac{(x_{1} + x_{2} + ...x_{m})}{m} \bullet \frac{(y_{1} + y_{2} + ...y_{n})}{n}

    =E(X)E(Y)

    证毕。

    因此，我们证得Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)。

    同理可证Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)，读者们可以尝试一下。

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          本文标题：期望与方差之五：两个独立随机变量合并后的方差

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