前两天线上答疑，有个学生咨询我平板上布置的两道题目，是关于“分段函数”的问题，一部分学生丝毫没有思路。来自臧嘉颖口述的大致题意:出租车起步价和起步公里数是2.5千米6元，超过2.5千米后每千米1.6元，最后付15.6元，走了多少千米？(不足2.5公里按2.5公里计算)
小学里的“分段函数”问题，主要是以“分段计费”的问题呈现出来的。分段函数的概念第一次出现是在高一，它的定义是这样的:如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数。这个概念小学生看到，让他们理解简直就是天方夜谭。概念中的关键是不同的定义域，对应不同的解析式，我认为小学阶段，重点要明白，“分段计费”的标准是不一样的，一般情况下不同的情况，收费标准不一样，关键在于看“定义域”。
针对于以上问题，分清收费时段是关键，具体怎样帮学生理解呢？可以利用图表表征，理解这种题的模型。例如可以用下表来表示。把问题具体化，把数值固定化，把一个动态的过程转化成一个静态问某个公里数需要多少钱的情况，学生会更容易理解。
但这一个表其实还不完全能使同学们理解，孩子们可能会计算某时刻的情况，为什么会出现这种情况，我们可以借助学生比较熟悉的线段图来解决，线段图相比较而言会是更加清晰直观的。例如，下图就是我们在讲解过程中留下来的痕迹。
数形结合的思想是数学中非常重要的思想之一。数学家华罗庚曾经说过，数缺形时少直觉，形少数时难入微，这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及实用结合的重要性。数形结合的思想对于解决代数中的函数问题有它特有的便利之处，就像这道题，除了我们看到得上图中的线段图，还可以用以下方法对这类问题的一个延伸和拔高。问同学们:同学们，你们认为下面的哪个图更能反应出这道题的意思呢？
当这个图出来以后，我们需要重点让学生明白，图②是两种标准“前后不一”，在0~2.5千米之间，是平的，说明它的价格不变，也就是题目中所说的“不足2.5公里按2.5公里计算”也就是说都按6元收费。超过2.5公里以后按每公里1.6元去计算，这个1.6课时在6的基础上收取的。所以这里对一部分学生来说的难点就是“超过的部分”五个字的理解。我认为小学阶段能理解了以上图示对于小学阶段的“分段函数”问题就没有问题了。
当然，这样的图其实也有问题，因为现实生活中通常在“超过的部分”中不足一公里按一公里计算，类似于打电话不足一分钟按一分钟计算，这样说来，图②是不正确的，因为超过的部分也应该是一个整钱数，如下图。
上面这道题的分析是需要一种逆向思维思考的方法的，因为它给的是付了15.6元，假如直接问8公里需要付多少钱或许会更简单，所以上题且算同一种题目的变式。还有一种是需要分成三段或更多段的的情况，例如下面是10月23日平板作业中的一道题目(正确率只有42％)。
首十分钟免费，首半小时1.8元，半小时到三小时，3.6元/半小时，三小时后6元/半小时。这和上面的题本质上是一样的，但又有些许不同，本题一开始单位内的价格关键便宜，之后越来越贵，而上题相反，本题将“时间轴自变量”分成了四段，而上题只有两段。万变不离其宗，如果想理解整道题的意思，语言按照上图的基本步骤，可以列表，运用数形结合等方法解答出来。此题做之前还是语言提前比较一下，因为16.2元是停车了几小时呢？可以确定的是肯定不止半小时，那有没有三小时？六小时呢？所以图示中的关键点也是重点，只有我们把图示关键点求出来，才可以初步根据条件中的数据，判断出来是在哪个范围内。也就是说根据值域判断此静态下的某时刻，是在哪段定义域内。
此题中的关键点①停车十分钟:0元;关键点②停车半小时:1.8元;关键点③停车3小时:1.8＋2.5×2×3.6=19.8(元);关键点④停车n小时(超过6小时):19.8＋(n-6)×2×6=12n-57.2。这道题停车费用是16.2元，表示停车一定超过了6小时，那就说明是在最后一段完成交易的，此时列式:(16.2-1.8)÷3.6÷2＋0.5=2.5(时)。
这样的题目常见于“分段计费”，也不仅限于以上这种停车收费，出租车收费，也常见于打电话收费，分高低峰水电费按时段收费等，但都是万变不离其宗。一旦建立起这种题的模型，即使变条件，变情境都可以迎刃而解。
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