2018-05-01开胃学习数学系列 - PDE 常识

这篇纯手工打字，辛苦。

针对差分格式而言，在时间步长和空间步长趋近于零的情况下，如果差分格式的截断误差，也就是差分格式和原有偏微分方程之差的模趋近于零，则该差分格式与原偏微分方程是相容的。称该差分方程与原偏微分方程具有相容性。

稳定性

• 如果偏微分方程的严格解析解有界，差分格式给出的解也有届，称该差分格式是稳定的
  如果差分格式给出的解释无界的，则称该差分格式是不稳定的。

• 稳定性反映了差分格式在计算中控制误差传递的能力

收敛性

• 如果当时间步长和空间步长趋于0时，FDE解趋向于PDE解，则称该差分格式是收敛的

• 收敛性描述的是当差分网格无限细化时，差分方程的解是否具有无限逼近偏微分方程的解的能力。

Lax 等价定理

• 如果逼近一个给定问题的差分格式是相容的。那么该差分格式的收敛性与稳定性互为充分必要条件。
• 相容性是比较容易满足的。在此基础上，如果满足了稳定性条件，差分格式的收敛性也自动满足。

显式差分格式

差分方法中课逐层分别求解的格式

• 不连立解方程

• 时间步长和空间步长的选择都受到限制，通常要求时间步长足够小

  
  

• 化简之后，左边是n+1时刻的值，右边是n时刻的值

• 结构简单，直接求解，求解速度快

• 但是只有时间步长满足

显式差分格式才能得到稳定的数值解，否则，数值解将会不稳定而震荡。

隐式差分格式

• 肉眼可以看到的区别是，第一项u的 k -（k-1）

• 时间步长和空间步长的选择不受限制

• 需要联立解方程