统计功效计算公式

作者: allanYan | 来源:发表于2023-08-21 15:23 被阅读0次

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背景知识

Z检验基础知识

Z检验也叫做U检验，一般用于比较样本平均值差异性。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著；
比较平均值是否存在差异，包括一组数据与某数值的差异性或两组数据的平均值差异性，Z检验通常要求样本量比较大(n >30)；

Z检验步骤

建立假设，即先假定两个平均数之间没有显著差异，
计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法：

检验一个样本平均数（ $\overline {X}$ ）与一个已知的总体平均数( $\mu_{0}$ )的差异是否显著。其Z值计算公式为： $Z=\frac{\overline {X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}$
其中：
$\overline {X}$ 是检验样本的平均数，
$\mu_{0}$ 是已知总体的平均数，S 是样本的标准差，n是样本容量。
检验两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为：
$Z=\frac{\overline {X_{1}}-\overline {X_{2}}}{\sqrt{\frac{S_{1}}{n_{1}}+\frac{S_{2}}{n_{2}}}}$

比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据 Z 值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：

统计量Z值	P值	差异程度
大于等于2.58	小于等于0.01	非常显著
大于等于1.96	小于等于0.05	显著
小于1.96	大于0.05	不显著

统计功效公式推导

原假设与备择假设

$H_0:\mu_A=\mu_B \\ H_1:\mu_A \ne\mu_B\tag{1}$

推导过程

假设 $\sigma_A=\sigma_B=\sigma$ ，令 $\delta=\mu_A-\mu_B$ ，则根据第二类错误的定义：
$\begin{align} \beta&=P(接受H_0|H_0为假)\\ &=P(-z_{1-\alpha/2}\le \frac{\overline X_A-\overline X_B}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}\le z_{1-\alpha/2}|\delta \ne 0)\\ &=P(-z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}\le \frac{(\overline X_A-\overline X_B)-\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}} \le z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}|\delta \ne0)\\ &=\phi(z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}))-\phi(-z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}})) \tag{2} \end{align}$

注意，由于 $H_0$ 为假，也就是 $\mu_A \ne \mu_B$ ； $\frac{\overline X_A-\overline X_B}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}$ 不服从标准正态分布，需要转化为 $\frac{(\overline X_A-\overline X_B)-\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}$ 才服从标准正态分布;

令 $\quad z=\frac{\mu_A-\mu_B}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}$ ,由统计功效与二类错误的关系，得到统计功效的计算公式：
$power=1-\beta= \Phi\left(z-z_{1-\alpha/2}\right)+\Phi\left(-z-z_{1-\alpha/2}\right) \quad$

参考资料

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