二进制浮点数表示

作者: dyyy_li | 来源:发表于2019-08-03 19:47 被阅读0次

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从整数到小数

先回忆下如何用二进制表示十进制整数。例如， $5 = 1×2^2 +0×2^1 +1×2^0 = (101)B$ 。
以此类推，
$5.3 = 1×2^2+0×2^1+1×2^0+1×2 ^{-1}+1×2^{-2} = (101.11)B$ 。
这样的表示方法，会被我们理所应当地想到。但是这样表示小数存在不足。

存在的问题

能精确表示的小数有限，只能表示被 $x×2^y$ 表示的数字。如1/3、 1/5等无法被上述方式表示。
在定长位数下（float是32位），不能同时表示极大数和及其接近0的数。（ps，如果小数点不定位置，那么要描述小数点位置又需要额外的位数，更加浪费空间）。

IEEE标准表示浮点数

要解决的问题：在给定区间内，整数有限个，但实数无限个
基本矛盾：有限个二进制位去表示无限多的实数
表示：使用类似科学计数法方式表示。
本文只谈float32类型情况下。

表示公式

$V=(-1)^S+F×2^E$
这样的表示小数点是浮动的，所以称为浮点数。（相对的，小数点确定的叫做定点数，整数也是一种定点数）
S：标志位（1位），大家都懂
E：阶码（8位），作用是对浮点数加权
F：尾数（23位），这个数有些特别，它的取值范围[1,2)或[0,1)，俩个取值范围跟E的取值相关，后文详细解释。

来源深入理解计算机系统v3

阶码E 和尾数F 的取值

阶码状态	尾数状态	值的表示	备注
E∈(0,255)	任意	$1+\frac{F}{2^{-23}}×2^{E-127}$	规格化
E=0	任意	$\frac{F}{2^{-23}}×2^{E-126}$	非规格化
E=255	0		无穷大、小
E=255	≠0		NaN

1.规格化情况

阶码E的二进制位既不全是0，也不全是1。
因为E∈(0,255)的，E-127 刚好平分E的值域。这样，E既可以表示正指数，也可表示副指数。
尾数F的值域[1,2)

2. 非规格化情况

阶码E的二进制位全0
尾数F的值域[0,1)

阶码E和尾数F的含义

这样的表示公式是非常反直觉的，为什么要将非规格化情况单独提出，这驱使我探究其中含义。

阶码E

先定义阶数组。根据E取值不同， $2^{E-127}$ 的值可以组成的数组是阶数组，阶数组可见下表

阶数组元素	元素值
A[0]	$2^{-126}$
A[1]	$2^{-126}$
A[2]	$2^{-125}$
A[3]	$2^{-124}$
……	……
A[127]	$2^{0}$
A[128]	$2^{1}$
……	……
A[253]	$2^{126}$
A[254]	$2^{127}$
A[255]	∞

阶码E就是阶数组的序号（数组下标）
阶数组元素算出后，每个阶的值域也我们自然能算出。

阶数组元素	元素值	表示范围	精度
A[0]	$2^{-126}$	$[0,2^{-126})$	$2^{-149}$
A[1]	$2^{-126}$	$[2^{-126},2^{-125})$	$2^{-149}$
A[2]	$2^{-125}$	$[2^{-125},2^{-124})$	$2^{-148}$
A[3]	$2^{-124}$	$[2^{-124},2^{-123})$	$2^{-147}$
……	……	……	……
A[127]	$2^{0}$	$[2^{0},2^{1})$	$2^{-23}$
A[128]	$2^{1}$	$[2^{1},2^{2})$	$2^{-22}$
……	……	……	……
A[150]	$2^{23}$	$[2^{23},2^{24})$	$2^{0}=1$
……	……	……	……
A[254]	$2^{127}$	$[2^{127},2^{128})$	$2^{104}$
A[255]	∞	$[0,2^{-126})$	-

这样的表示，就将整个实数域都囊括了。非规格化情况(A[0]阶)，巧妙地填充了0附近的空白。

尾数F

尾数F理解成一个分数的分子，分母是 $2^23$ ，分数的“1”是E阶的值域。打个比方，一条线段的长度为A[E]，平均分成2^23段，取其前F段。

计算出浮点数的阶号E和尾数F

计算F时，采用二分法。
下面以 N=25f 进行举例

1.找到N的阶码

$2^k <= N < 2^{k+1}$
$2^4 <= N < 2^{5}$
$阶码E= k+127 = 131=1000 0011$

2.二分法找尾数F

判断	Y or N	F从右向左的二进制占位
IF 25 >=24	Y	1
IF 25 >=28	N	10
IF 25 >=26	N	100
IF 25 >=25	Y	1001

解释一下，阶区间[2^4,25)，中位数的十进制表示是24，25>24，判断为真，F的最高位填1。
剩余区间中位数28，25<28，判断为假，F的下一位填0。依次类推，最终F为1001时。
所以最终25f的二进制表示为：
高16位：0 1000 0011 1001 000
低16位：0000 0000 0000 0000
十六进制表示：41 C8 00 00

浮点数表示带来的精度问题

python中： 0.3+0.6=0.899999
32位浮点数，超过2的24次方之后，精度大于1，运算准确性不如整数。

2,000,000,000f+1f = 2,000,000,000f

解决方法：Kahan Summation算法

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