数据结构-二分搜索树

二叉树：顾名思义就是每个节点都只能有两个子节点的树结构

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
}

二分搜索树

• 二分搜索树也是二叉树
• 二分搜索树的每个节点的值:
  • 大于其左子树的所有节点的值
  • 小于其右子树的所有节点的值
• 每一棵子树也是二分搜索树
• 存储的元素必须有可比性

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创建二分搜索树

public class BST<E extends Comparable<E>> {

    private class Node {
        public E e;
        public Node left, right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int size(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }
}

添加元素

向以node为根的二叉树中添加元素, 如果比node中的元素小,就去node的左子树中去比较

    // 向二分搜索树中添加新的元素e
    public void add(E e) {
        root = add(root, e);
    }

    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
    // 返回插入新节点后二分搜索树的根
    private Node add(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            size++;
            return new Node(e);
        }

        if (e.compareTo(node.e) < 0)
            node.left = add(node.left, e);
        else if (e.compareTo(node.e) > 0)
            node.right = add(node.right, e);

        return node;
    }

查询元素

    // 看二分搜索树中是否包含元素e
    public boolean contains(E e) {
        return contains(root, e);
    }

    // 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
    private boolean contains(Node node, E e) {

        if (node == null)
            return false;

        if (e.compareTo(node.e) == 0)
            return true;
        else if (e.compareTo(node.e) < 0)
            return contains(node.left, e);
        else // e.compareTo(node.e) > 0
            return contains(node.right, e);
    }

二分搜索树的递归遍历

先序遍历

根节点在前就是先序遍历

    // 二分搜索树的前序遍历
    public void preOrder(){
        preOrder(root);
    }

    // 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void preOrder(Node node){
        if(node == null)
            return;

        System.out.println(node.e);
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }

    @Override
    public String toString(){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        generateBSTString(root, 0, res);
        return res.toString();
    }

    // 生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字符串
    private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res){

        if(node == null){
            res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
            return;
        }

        res.append(generateDepthString(depth) + node.e + "\n");
        generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
        generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
    }

    private String generateDepthString(int depth){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for(int i = 0 ; i < depth ; i ++)
            res.append("--");
        return res.toString();
    }

中序遍历

    // 二分搜索树的中序遍历
    public void inOrder() {
        inOrder(root);
    }

    // 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void inOrder(Node node) {
        if (node == null)
            return;

        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

后序遍历

// 二分搜索树的后序遍历
    public void postOrder() {
        postOrder(root);
    }

    // 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void postOrder(Node node) {
        if (node == null)
            return;

        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.println(node.e);
    }

遍历的非递归实现

借助栈的功能来实现非递归遍历

前序遍历

先将根节点压入栈
1.若栈非空输出根节点，并出栈
2.将右节点压栈（如果存在）
3.将左节点压栈（如果存在）
4.重复第1步直到栈空

    // 二分搜索树的非递归前序遍历
    public List<E> preOrderNR(){

        List<E> es = new ArrayList<>();
        if(root == null)
            return es;

        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        stack.push(root);
        while(!stack.isEmpty()){
            Node cur = stack.pop();
            es.add(cur.e);

            if(cur.right != null)
                stack.push(cur.right);
            if(cur.left != null)
                stack.push(cur.left);
        }
        return es;
    }

中序遍历

栈的中序遍历需要套两层循环，由于需要先输出左节点，因此必须向下查找直到左节点为空才能输出。处理逻辑如下：

1、如果栈顶元素非空且左节点存在，将其入栈，重复该过程。若不存在则进入第2步
2、若栈非空，输出栈顶元素并出栈。判断刚出栈的元素的右节点是否存在，不存在重复第2步，存在则将右节点入栈，跳至第1步

    // 二分搜索树的非递归中序遍历
    public List<E> inOrderNR(){
        List<E> es = new ArrayList<>();
        if(root == null)
            return es;

        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        stack.push(root);
        while(!stack.isEmpty()) {
            while (stack.peek().left != null) {
                stack.push(stack.peek().left);
            }

            while (!stack.empty()) {
                Node cur = stack.pop();
                es.add(cur.e);
                if (cur.right != null) {
                    stack.push(cur.right);
                    break;
                }
            }
        }
        return es;
    }

public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        BST<Integer> bst = new BST<>();
        int[] nums = {20, 10, 25, 5, 15, 23, 27, 7, 22, 24, 6, 8, 9};
        for(int num: nums)
            bst.add(num);

        //bst.preOrder();
        //System.out.println(bst.preOrderNR());
        //bst.inOrder();
        System.out.println(bst.inOrderNR());
    }
}

[5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20, 22, 23, 24, 25, 27]

后序遍历

后序遍历在中序的双层循环的基础上需要加入一个记录，专门记录上一次出栈的节点。步骤如下：
1、如果栈顶元素非空且左节点存在，将其入栈，重复该过程。若不存在则进入第2步（该过程和中序遍历一致）
2、判断上一次出栈节点是否当前节点的右节点，或者当前节点是否存在右节点，满足任一条件，将当前节点输出，并出栈。否则将右节点压栈。跳至第1步

    public List<E> postOrderNR(){
        LinkedList<E> es = new LinkedList<>();
        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        if (root == null) return es;

        stack.push(root);
        Node lastpop = null;

        while (!stack.isEmpty()){
            while(stack.peek().left != null){
                stack.push(stack.peek().left);
            }
            
            // 当前节点没有左子树, 看其右子树是否存在或者是否是上次访问过的节点
            while (!stack.isEmpty()){
                if (lastpop == stack.peek().right || stack.peek().right == null){
                    Node cur = stack.pop();
                    es.add(cur.e);
                    lastpop = cur;
                }
                else if(stack.peek().right != null){
                    stack.push(stack.peek().right);
                    break;
                }
            }
        }
        return es;
    }

[6, 9, 8, 7, 5, 15, 10, 22, 24, 23, 27, 25, 20]      

根据后序遍历的特性: 左 右 中, 先将根节点入栈,
1.将根节点出栈, 放在链表的头部
2.出栈的节点有左节点将左节点入栈
3.出栈的节点有右节点将右节点入栈
4.栈不为空,重复1~3

    public List<E> postOrderNR() {
        LinkedList<E> ans = new LinkedList<>();
        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        if (root == null) return ans;

        stack.push(root);
        while (!stack.isEmpty()) {
            Node cur = stack.pop();
            ans.addFirst(cur.e);
            if (cur.left != null) {
                stack.push(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                stack.push(cur.right);
            }
        }
        return ans;
    }

[6, 9, 8, 7, 5, 15, 10, 22, 24, 23, 27, 25, 20]  

层序遍历

借助队列先进先出的特性, 可以很轻松的实现树的层序遍历

    // 二分搜索树的层序遍历
    public List<E> levelOrder() {

        Queue<Node> q = new LinkedList<>();
        ArrayList<E> es = new ArrayList<>();
        if (root == null)
            return es;

        q.add(root);
        while (!q.isEmpty()) {
            Node cur = q.remove();

            es.add(cur.e);

            if (cur.left != null)
                q.add(cur.left);
            if (cur.right != null)
                q.add(cur.right);
        }
        return es;
    }

[20, 10, 25, 5, 15, 23, 27, 7, 22, 24, 6, 8, 9]

    public List<List<E>> levelOrder() {
        List<List<E>> res = new ArrayList<>();
        Deque<Node> queue = new LinkedList<>();

        if (root == null)
            return res;

        queue.addFirst(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            List<E> list = new ArrayList<>();
            int n = queue.size();
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                Node t = queue.removeLast();
                list.add(t.e);
                if (t.left != null)
                    queue.addFirst(t.left);
                if (t.right != null)
                    queue.addFirst(t.right);
            }
            if (!list.isEmpty())
                res.add(list);
        }
        return res;
    }

[[20], [10, 25], [5, 15, 23, 27], [7, 22, 24], [6, 8], [9]]

最大值和最小值

根据二分搜索树的特性, 很容易知道沿着根节点往左走是最小值, 往右走是最大值

// 寻找二分搜索树的最小元素
    public E minimum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

        Node minNode = minimum(root);
        return minNode.e;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if( node.left == null )
            return node;

        return minimum(node.left);
    }

    // 寻找二分搜索树的最大元素
    public E maximum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

        return maximum(root).e;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
    private Node maximum(Node node){
        if( node.right == null )
            return node;

        return maximum(node.right);
    }

删除最大值,最小值

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node){

        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }

        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMax(Node node){

        if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            return leftNode;
        }

        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }

删除任意节点

/*二叉树节点的删除
*先找到要删除节点所在的位置，判断左右子树的情况
*如果左右子树都不存在，将其直接删除
*如果存在单一子树，修改指针后将其删除即可
*如果左、右子树都存在，则将其左子树的最大值复制为将删除的节点，并将最大值删除即可
*右子树的最小值也可以
*/

// 从二分搜索树中删除元素为e的节点
   public void remove(E e) {
       root = remove(root, e);
   }

   // 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
   // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
   private Node remove(Node node, E e) {

       if (node == null)
           return null;

       if (e.compareTo(node.e) < 0) {
           node.left = remove(node.left, e);
           return node;
       } else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
           node.right = remove(node.right, e);
           return node;
       } else {   // e.compareTo(node.e) == 0

           // 待删除节点左子树为空的情况
           if (node.left == null) {
               Node rightNode = node.right;
               node.right = null;
               size--;
               return rightNode;
           }

           // 待删除节点右子树为空的情况
           if (node.right == null) {
               Node leftNode = node.left;
               node.left = null;
               size--;
               return leftNode;
           }

           // 待删除节点左右子树均不为空的情况

           // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
           // 用这个节点顶替待删除节点的位置
           Node successor = minimum(node.right);
           successor.right = removeMin(node.right);
           successor.left = node.left;

           node.left = node.right = null;

           return successor;
       }
   }

完整代码