35、正交变化法化二次型为标准型

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-04-10 21:47 被阅读0次

定义2：只含平方项的二次型，即形如 $f(x_1,x_2,…,x_n)=d_1x_1^2+d_2x_2^2+…+d_nx_n^2$
称为二次型的标准形（或法式）。

问题1：标准形的矩阵=？ $\Lambda=\left( \begin{array}{cccc} d_1&& \\ &\ddots& \\ &&d_n \\ \end{array} \right)$

问题2：将二次型化为标准形实际上是什么问题？
找可逆阵C， $C^TAC= \Lambda$ 为对角阵

问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。

定理2 对实二次型 $f=X^TAX$ ,正交变换 $X=QY$ ,使 $f=X^TAX=(QY)^TA(QY)=Y^T(Q^TAQ)Y=Y^T \Lambda Y$

$=\lambda _1y_1^2+\lambda _2y_2^2+\cdots+\lambda _ny_n^2$

$\Lambda = \left( \begin{array}{cccc} \lambda_{1}&& \\ &\ddots& \\ &&\lambda_{n} \\ \end{array} \right) ,\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 为f的矩阵A的特征值。

正交变换法将二次型化为标准形的一般步骤：
（i）写出二次型的矩阵A；
（ii）求出A的所有相异的特征值 $\lambda_1，\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ ;
（iii）对每一个重特征值 $\lambda_i$ ，求出对应的 $r_i$ 个线性无关的特征向量 $\xi_{i1},\xi_{i2},\cdots,\xi_{ir_i}(i=1,2,\cdots,m)$ ,由性质知 $\sum_{i=1}^{m}r_i=n$
（iv）用施密特正交化方法将每一个重特征值 $\lambda_i$ 所对应的 $r_i$ 个线性无关的特征问量 $\xi_{i1},\xi_{i2},\cdots,\xi_{ir_i}(i=1,2,\cdots,m)$ 先正交化再单位化为 $\eta _{i1},\eta _{i2},\cdots,\eta _{ir_i}(i=1,2,\cdots,m)$ ,它们仍为属于 $\lambda_i$ 的特征问量。
（v）将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q，则Q即为所求得的正交方阵。此时 $Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$ 为对角阵。
（vi）作正交变换，X=QY，即可将二次型化为标准形 $f=X^TAX=(QY)^TA(QY)=Y^T(Q^TAQ)Y=Y^T\Lambda Y.$

例用正交变换法将二次型 $f（x_1，x_2，x_3）=2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3$ 化为标准形，并求出所用的正交变换矩阵。
二次型的矩阵为 $A= \left( \begin{array}{cccc} 2&-2&0 \\ -2&1&-2 \\ 0&-2&0 \\ \end{array} \right)$

由 $|A-\lambda E|= \left| \begin{array}{cccc} 2- \lambda&-2&0 \\ -2&1-\lambda&-2 \\ 0&-2&-\lambda \\ \end{array} \right|=-(\lambda-1)(\lambda-4)(\lambda+2)$

得A得特征值为 $\lambda_1=1,\lambda_2=4,\lambda_3=-2;$

其对应的特征何量为
$\alpha_1=(-2,-1,2)^T,7，\alpha_2=(2,-2,1)^T，\alpha_3=(1,2,2)^T$ ，因为 $\Lambda_1，\Lambda_2，\Lambda_3$ 互异，故 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 两两相交，将它们单位化，
得 $\eta_1=\frac{1}{3} \alpha_{1},\eta_2=\frac{1}{3} \alpha_{2},\eta_3=\frac{1}{3} \alpha_{3}$
于是所求正交变换的矩阵为
$Q=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cccc} -2&2&1 \\ -1&-2&2 \\ 2&1&2 \\ \end{array} \right)$
待更

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