立体几何是中学数学几大主要知识板块之一,很多的立体几何问题中都涉及到二面角关系,但是也通常都不能直接用二面角关系一步到位解决问题,需要通过面面—线面—线线关系相互转化,找准主线,才能解决问题。
继续以实例来描述:
最基本的条件反射的一些意识要有:正方形、射影中心→正四棱锥,中点→三角形中位线。
第(1)小题非常简单,三角形中位线就直接解决问题,线线—线面关系转化。
第(2)小题二面角相关问题,通常先用平面角把立体角直观标示出来,面面—线面—线线关系转化。P在底面射影为中心,E为PD中点,显然E在底面的射影为OD中点。
找出二面角的平面标示后,这里是直角,怎么用?勾股定理?
目的是求体积,底面清楚,求出高即可,怎么求?高在△EOD中,不在Rt△CFD中,直接用勾股定理无法解决,怎么把高转化Rt△CFD中从而用勾股定理?
CF⊂平面ACE,DF⊂平面ADE,于是通过△ACE、△ADE,高所在的△EOD与Rt△CFD就联系到一起了。
这里是计算题,长度上的联系,面积法?
顺着思路,辅助线自然而然就作出来了,如上图所示。
我解释一下为什么不直接作△ADE的高,而是作△APD的高:
设高EH=h,则等腰△EOD中的两个Rt△用勾股定理求出OE=DE=…,Rt△OAE用勾股定理求出AE=…。
但是△AED不是等腰三角形,高也就不好一步简单地直接用勾股定理求出,而△APD是等腰三角形,PD=2DE=…,从而可以直接用勾股定理求出△APD的高PG。然后就好办了,E为PD中点,显然△AED的高为△APD的一半,同底,∴面积也是一半。用高是一半、面积是一半都一样。下面我写一些计算的重要步骤。
与二面角有关的立体几何问题,一般都要通过面面—线面—线线关系转化,从而应用相应关系,找准主线,找对出发点或归结点,问题最终归结到最基础的知识、方法、思想层面。
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