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高等数学

概率论与数理统计

Python基础

最近对线性回归很感兴趣，就研究了一下。其实生活中有很多这样的例子，比如：票价与行车距离、服务质量之间的关系，买房时房价与面积、地域等的关系。给我们一组这样的数据，我们想找出一个数学关系来描述这个问题，从而得到自己想要的结论。那么，怎么样才能使得你确定出的关系是一个好的线性关系呢。最著名的当数最小二乘法了，很多人都知道。

1、最小二乘法原理

众所周知，最小二乘法原理就是利用，拟合直线上面的因变量值与实际值的残差平方和最小作为优化目标。从而确定出我们需要找出的的系数。给定一组数据X = (X1,X2,...,Xn)，Y = (Y1,Y2,...,Yn)，一般方法通过画散点图观察我们发现，X、Y之间有可能存在很强的线性关系，当然也可能有其它关系（更高次也是有可能的）。我们的任务就是，通过线性拟合找到合适的线性系数，能最好反应X、Y之间的相关关系。

假设线性方程为：

这里的eps就是指的实际值与直线拟合值的残差，它们肯定会有差值的，一般而言。

目标函数就是因变量值与实际值的残差平方和，定义如下：

其中，红色Yi表示实际给定的数据，蓝色表达式表示根据拟合直线表达式计算的近似代替值，我们的目标是使其达到最小。

数学分析（工科会学高等数学）告诉我们：这是一个二元函数，我们需要找到其极小值点（alpha,beta）；可以对目标函数关于alpha,beta分别求偏导数，偏导数如果有零点，这个零点两边函数值为正负，必然存在一个驻点对应目标函数值先下降后增长）。那么，这个点就是我们要求的最优极小值点对应线性拟合系数alpha,beta。

求偏导函数如下：

求偏导数函数零点，理论上可以求出，alpha，beta的值。大家不喜欢公式，我也不喜欢编辑公式（编辑好麻烦），虽然我比较喜欢公式。我觉得实际问题被抽象成数学模型去刻画才是最美的。

经过细心的计算，大家可以算出：

只要算出了beta，利用回归直线过点（x_bar,y_bar），X，Y平均值点，算出alpha即可。

2、编程实现

Win10环境下用Python3.写的实现程序。

（1）、用的数据：由于暂时没有数据生成线性数据，然后加的噪声；

（2）、用到的函数：

向量内积（点乘）函数、平均值、协方差

（3）、代码如下：

#向量内积函数

def dot(m,n):

return(sum(m_i*n_i for m_i,n_i in zip(m,n)))

#平均值函数

def mean(x):

return(sum(x)/len(x))

#计算协方差

####-----要计算一个序列方差只需covariance(x,x)即可---####

def de_mean(x):

x_bar = mean(x)

return([x_i-x_bar for x_i in x])

def covariance(x,y):

return(dot(de_mean(x),de_mean(y))/(len(x)-1))

#计算相关系数

import math

def correlation(x,y):

s_x = math.sqrt(covariance(x,x))

s_y = math.sqrt(covariance(y,y))

return(covariance(x,y)/(s_x*s_y))

#-----------------【最小二乘法】线性回归系数求法--------------

def line_coef(x,y):

s1 = covariance(x,x)*(len(x)-1)

s2 = dot(y,de_mean(x))

beta = s2/s1

alpha = mean(y)-beta*mean(x)

return(alpha,beta)

#*********实验************

#由于暂时没有实验数据，这里生成【随机干扰】数据

import random as rdm

#from numpy import *

def ran(a1,a2,x):

return([a1+a2*x_i+2.5*rdm.random() for x_i in x])

a1 = 1.5

a2 = 2.5

x = range(20)

y = ran(a1,a2,x)

#线性拟合

alpha,beta = line_coef(x,y)

print('*------------最小二乘法-------------*')

print('系数为：',alpha,beta)

#可视化

import matplotlib.pyplot as plt

#开一个【2x2】的图像窗口

#plt.subplot(221)

plt.figure(1)

plt.scatter(x,y,marker = '*',color = 'b')

plt.xlabel('x label')

plt.ylabel('y label')

plt.title('Linear Fit')

#拟合直线

plt.plot(x,[alpha+beta*x_i for x_i in x],color = 'orange')

#plt.subplot(222)

plt.show()

#误差分析

#-----主要考察:(1)误差平方和;(2)R方（越大拟合得越好）

def err(alpha,beta,x,y): #返回每个实际y值与拟合值差向量

return([y_i-(alpha+beta*x_i) for x_i,y_i in zip(x,y)])

def error_total(alpha,beta,x,y):

y1 = err(alpha,beta,x,y)

return(dot(y1,y1))

print('误差为：',error_total(alpha,beta,x,y))

#计算R方

def r_square(alpha,beta,x,y):

return(1-error_total(alpha,beta,x,y)/covariance(y,y))

R_square = r_square(alpha,beta,x,y)

print('R方：',R_square)

if(R_square>0.95):

print('在0.05置信水平下，该线性拟合不错!')

else:

print('在0.05置信水平下，该线性拟合效果不佳!')

（4）、结果

*------最小二乘法---------*

系数为： 2.6786542252575067 2.538861110659364

误差为： 6.8591175428159215

R方： 0.9696451619135048

在0.05置信水平下，该线性拟合不错!

拟合图如下

3、结果分析

可以看出我定义的线性方程系数a1 = 1.5，a2 = 2.5，大约就是Y = 1.5+2.5X，最终结果是Y = 2.6786542252575067+2.538861110659364X，因为中间增加了2.5倍的噪声，使得alpha从1.5—>2.68。当然了，这只是我们的感觉，线性拟合效果怎么样，还得看官方标准。

这里用R方（值越大拟合得越好）。

R方： 0.9696451619135048

在0.05置信水平下，该线性拟合不错!