01 向量究竟是什么？

线性代数中最基础、最根源的就是向量，一般来说有三种看待向量的观点，看似不同却有所关联 —— 物理专业学生的视角、计算机专业学生的视角 以及 数学家的视角。

看待向量的三种视角

从物理专业学生的角度，向量是空间中的箭头。决定一个向量的是它的长度和方向，只要以上两个特征相同，可以自由移动一个向量而保持它不变。    处在平面中的向量是二维的，而处在我们生活空间中的向量是三维的。

从计算机专业学生的角度，向量是有序的数字列表。

向量是有序的数字列表

比如你正在做有关房价的分析，而你只关心两个特征：房屋面积和价格。你会用一对数字对每个房屋进行建模，第一个数代表房屋面积，第二个数代表价格，数字顺序不可颠倒。用二维向量对房屋建模，“向量”只不过是“列表”的一个花哨说法。

二维向量对房屋建模

另一方面，数学家试图去概括这两种观点。大致地说，向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加 以及数字与向量相乘是有意义的即可。向量加法和向量数乘 始终贯穿线性代数，起着很重要的作用。

数学家的视角 

我们先来确定一种思考“向量”的特定方式，每当引入一个关于向量的新主题时，首先考虑一个箭头，更具体地，考虑这个箭头落在某个坐标系中，比如 x-y 平面，箭头起点位于坐标原点。二维向量的第一个数表示箭头往x轴走的距离，第二个数表示箭头往y轴走的距离。每一对数给出唯一一个向量 ，而每一个向量恰好对应唯一的一对数。

二维平面的箭头

三维空间坐标系添加了垂直x轴和y轴的第三根轴，z轴。这种情况下，每个向量就与一个有序三元数组对应。第一个数告诉你沿着x轴走多远，第二个数告诉你沿着平行y轴的方向走多远， 第三个数告诉你沿着平行z轴的方向走多远，每个三元数组给出唯一一个向量，而每个向量恰好对应一个三元数组。