Arcball和Trackball-控制旋转变换

作者: 绿风烟 | 来源:发表于2019-12-23 22:18 被阅读0次

Note

这是对MIT Foundation of 3D Computer Graphics第8章的翻译，本章讲解了借助arcball和trackball如何构建旋转变换以及其实现途径。本书内容仍在不断的学习中，因此本文内容会不断的改进。若有任何建议，请不吝赐教ninetymiles@icloud.com。

注：文章中相关内容归原作者所有，翻译内容仅供学习参考。
另：Github项目CGLearning中拥有相关翻译的完整资料、内容整理、课程项目实现。

已经完成的章节

控制球：轨迹和弧形（Balls: Track and Arc）

在一个交互式的计算机图形程序中，我们经常追踪鼠标的运动并且借助这种数据指定物体运动。平移处理起来相当直接。在小节6.5中，当鼠标左键被摁下，我们解读左/右鼠标运动为x轴方向平移，上/下鼠标运动为y轴方向平移（全部都关联于眼睛帧）。当鼠标右键被摁下，我们解读上/下运动为z轴方向平移。

旋转运动的指定就有一点儿不直观了；存在很多方式将鼠标运动关联解读为旋转变换，对于用户来说，这其中的每一种都让人有稍微不同的感觉。之前，在小节6.5中，我们描述了将鼠标位移解读为围绕x轴和y轴的某种特定旋转序列。本节中，我们会描述两种更加成熟的接口：弧形球（arcball）和轨迹球（trackball）。轨迹球的主要优势在于其让人感觉在空中移动一个真实的球体。弧形球的主要优点在于，如果用户在一个点开始移动鼠标，然后在另一个点结束，最终的旋转变换不依赖于在这两点之间鼠标所采用的路径。

让我们假设我们正在关联于帧 $\vec{\mathbf{a}}^t=\vec{\mathbf{w}}^t(O)_T(E)_R$ 移动物体，就如我们在小节5.2.1中所做的。用户点击在屏幕上并且拖动鼠标。我们希望去解读这种用户运动为某种旋转Q，这种旋转会被关联于 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 被应用。本章中，为了计算变换Q的值，我们将描述两种不同的方法，轨迹球和弧形球。

8.1 接口定义（The Interfaces）

我们假设拥有某种选定半径的球体，其中心在 $\tilde{o}$ ， $\vec{\mathbf{o}}^t$ 的原点。通常，在实际中围绕对象用线框图绘制球体是很有用的，用户可以更好的感知发生了什么。假设用户在屏幕上点击图像中球体上的像素 $s_1$ ，我们可以解读这个动作为用户在球体上选定了某个3D点 $\tilde{p}_1$ 。假设用户随后又移动到在球体上的另一个像素 $s_2$ ，这个点我们解读为球体上的第二个对应点 $\tilde{p}_2$ 。

给出这两个点，定义出两个矢量 $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ ，且都为单位矢量（unit vectors），它们分别位于矢量 $\tilde{p}_1 - \tilde{o}$ 和 $\tilde{p}_2-\tilde{o}$ 的方向上。定义角度 $\phi = \arccos(\vec{v}_1.\vec{v}_2)$ 和轴 $\vec{k}=normalize(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)$ 。（参考图示 $\text{Figure 8.1}$ 。）

在轨迹球接口中，我们定义Q为围绕轴 $\vec{k}$ 旋转 $\phi$ 角度的变换。而在弧形球中，我们定义Q为围绕轴 $\vec{k}$ 旋转 $2\phi$ 角度的变换。

Figure8.1.png

Figure 8.1: 轨迹球和弧形球的设置。一个球体表面上的两个被选定点给出了两个矢量。这些矢量依次又给出了一个角度和轴。

8.2 属性（Properties）

轨迹球接口是十分自然的；感觉就像用户抓住了一个球体的真实点然后来回拖动。但是也存在一个无法预料的后果，如果用户在屏幕上从 $s_1$ 移动到 $s_2$ ，然后又从 $s_2$ 移动到 $s_3$ ，合成的轨迹球旋转将不同于直接从 $s_1$ 移动到 $s_3$ 的旋转！在两种情形中，点 $\tilde{p}_1$ 都会被旋转到 $\tilde{p}_3$ ，但是两种结果可通过某种围绕轴 $\tilde{o}-\tilde{p}_3$ 的“扭转”区分。这种路径依赖也存在于小节6.5中的简单旋转接口中。

弧形球接口拥有某种程度上互相对立的属性。一方面，物体看起来以预期两倍快的速度旋转，另一方面，弧形球接口确实是路径独立的。我们可以轻易地借助四元数（quaternion）操作来明白这点。围绕轴 $\vec{k}$ 进行 $2\phi$ 角度的旋转可以用四元数表达为
$\begin{bmatrix}cos(\phi) \\ sin(\phi)\vec{k}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\hat{V}_1.\hat{V}_2 \\ \hat{V}_1 \times \hat{V}_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \hat{V}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -\hat{V}_1 \end{bmatrix} \qquad \qquad (8.1)$
其中 $\vec{k},\hat{V}_1,\hat{V}_2$ 为3部件坐标矢量（coordinate 3-vectors）表达关联于帧 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 的矢量 $\vec{k},\vec{v}_1,\vec{v}_2$ 。

如果我们合成两个弧形球旋转，对应于从 $\tilde{p}_1$ 到 $\tilde{p}_2$ ，同时跟着从 $\tilde{p}_2$ 到 $\tilde{p}_3$ 的运动，我们有如下表达
$\begin{bmatrix}\hat{V}_2.\hat{V}_3 \\ \hat{V}_2 \times\hat{V}_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\hat{V}_1.\hat{V}_2 \\ \hat{V}_1 \times\hat{V}_2\end{bmatrix}$

这是因为两个旋转都关联于帧 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 被应用，事实上所得到的旋转没有变化。借助方程（8.1）的分解，我们看到上面这个表达式等价于：
$\begin{bmatrix} 0 \\ \hat{V}_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -\hat{V}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \hat{V}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -\hat{V}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \hat{V}_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -\hat{V}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\hat{V}_1.\hat{V}_3 \\ \hat{V}_1 \times \hat{V}_3\end{bmatrix}$

这个结果刚好就是我们直接从 $\tilde{p}_1$ 移动到 $\tilde{p}_3$ 所得到的旋转。

8.3 实现（Implementation）

轨迹球和弧形球既可以用 $4 \times 4$ 矩阵，也可以借助四元数（quaternions）实现来表达变换Q。

因为所有操作都只依赖于矢量而不是点，坐标系的原点就是不重要的，我们可以在共享 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 轴的任何坐标系中执行，实际中，我们使用眼睛坐标。

根据一个选定的像素计算球体上点的坐标是稍微有点难的部分（这本质是光线追踪（ray-tracing），在第20章会讲到）。一种近似获得正确行为的简单方式是在“窗口坐标”中进行计算。这种情形中，我门想象一个3D空间，其 $x$ 轴是屏幕的水平轴， $y$ 轴是屏幕的垂直轴， $z$ 轴从屏幕中出来。我们认为球体中心完全位于屏幕上。假设用户所点击的点的窗口坐标为 $(x,y)$ ，借助球体方程式： $(x−c_x)^2+(y−c_y)^2+(z−0)^2−r^2=0$ ,我们可以轻松在球体上找到这个点的z坐标，这里 $[c_x,c_y,0]^t$ 是球体中心的窗口坐标。