数据结构与算法（七）二叉树

作者: 远方竹叶 | 来源:发表于2020-05-05 13:41 被阅读0次

一. 定义

在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二. 基本概念

2.1 度

结点拥有的子树数目称为结点的度。

2.2 结点的层次

从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。

2.3 高度或深度：

树中结点的最大层次。
深度从上往下。
高度从下往上。

2.4 二叉树是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态

空二叉树；
只有一个根结点的二叉树；
只有左子树；
只有右子树；
完全二叉树；

二叉树.png

三. 类型

完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。
满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。
平衡二叉树——又被称为AVL树算法，它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

四. 实现

4.1 顺序存储

4.1.1 结构定义

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */

typedef int Status;        /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int ElementType;      /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef ElementType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点  */
ElementType Nil = 0;   /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/

typedef struct {
    int level; //结点层
    int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;

4.1.2 visit

Status visit(ElementType c){
    printf("%d ", c);
    return OK;
}

4.1.3 构造空二叉树

Status InitBiTree(SqBiTree T){ //T是固定数组,不会改变
    
    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        T[i] = Nil; //将二叉树初始化值置空
    }
    return OK;
}

4.1.4 构造顺序存储的二叉树

Status CreateBiTree(SqBiTree T) { //按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型)
    int i = 0;
    
    //printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
    /*
     1      -->1
     2     3   -->2
     4  5  6   7 -->3
     8  9 10       -->4
     
     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil
     */
    while (i < 10) {
        T[i] = i+1;
        printf("%d ",T[i]);
        //结点不为空,且无双亲结点
        if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
            printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
            exit(ERROR);
        }
        i++;
    }
    //将空赋值给T的后面的结点
    while (i < MAX_TREE_SIZE) {
        T[i] = Nil;
        i++;
    }
    return OK;
}

4.1.5 清空二叉树

//技巧:如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree

4.1.6 判断二叉树是否为空

// 初始条件: 二叉树已存在;操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE。根结点为空,则二叉树为空。
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T) {
    if (T[0] == Nil)
        return TRUE;
    
    return FALSE;
}

4.1.7 二叉树的深度

// 初始条件: 二叉树已存在; 操作结果: 返回二叉树T深度
int BiTreeDepth(SqBiTree T) {
    
    int j = -1;
    int i;
    //找到最后一个结点
    //MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
    for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
        if (T[i] != Nil)
            break;
    }
    
    do {
        j++;
    } while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂
    
    return j;
}

4.1.8 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值

// 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置);操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
ElementType Value(SqBiTree T, Position e) {
    
    /*
     Position.level -> 结点层.表示第几层;
     Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
     */
    
    //pow(2,e.level-1) 找到层序
    printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));
    //e.order
    printf("%d\n",e.order);
    
    return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
}

获取二叉树根结点的值

// 初始条件: 二叉树T存在; 操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
Status Root(SqBiTree T,ElementType *e) {
    if (BiTreeEmpty(T)) { 
        return ERROR;
    }
    
    *e = T[0];
    return OK;
}

4.1.9 给处于位置e的结点赋值

// 初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置; 操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value;
Status Assign(SqBiTree T, Position e, ElementType value) {
    
    //找到当前e在数组中的具体位置索引
    int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;
    //叶子结点的双亲为空
    if (value != Nil &&  T[(i+1)/2-1] == Nil) {
        return ERROR;
    }
    //给双亲赋空值但是有叶子结点
    if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
        return  ERROR;
    }
    
    T[i] = value;
    return OK;
}

4.1.10 获取e的双亲

//初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点; 操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
ElementType Parent(SqBiTree T, ElementType e) {
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    
    for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[(i+1)/2 - 1];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

4.1.11 获取某个结点的左孩子

// 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点; 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
ElementType LeftChild(SqBiTree T, ElementType e) {
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+1];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

4.1.12 获取某个结点的右孩子

// 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点; 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
ElementType RightChild(SqBiTree T,ElementType e){
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+2];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

4.1.13 获取结点的左兄弟

// 初始条件:  二叉树T存在,e是T中某个结点; 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
ElementType LeftSibling(SqBiTree T, ElementType e) {
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==0)
            return T[i-1];
    
    return Nil; /* 没找到e */
}

4.1.14 获取结点的右兄弟

// 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点; 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂
ElementType RightSibling(SqBiTree T, ElementType e) {
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==1)
            return T[i+1];
    
    return Nil; /* 没找到e */
}

4.1.15 二叉树的层序遍历

void LevelOrderTraverse(SqBiTree T) {
    
    int i = MAX_TREE_SIZE-1;
    
    //找到最后一个非空结点的序号
    while (T[i] == Nil) i--;
    
    //从根结点起,按层序遍历二叉树
    for (int j = 0; j <= i; j++)
        //只遍历非空结点
        if (T[j] != Nil)
            visit(T[j]);
    
    printf("\n");
}

4.1.16 二叉树的前序遍历

void PreTraverse(SqBiTree T, int e) {
    
    //打印结点数据
    visit(T[e]);
    
    //先序遍历左子树
    if (T[2 * e + 1] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+1);
    }
    //最后先序遍历右子树
    if (T[2 * e + 2] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+2);
    }
}

Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){
    
    //树不为空
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        PreTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return  OK;
}

4.1.17 二叉树的中序遍历

void InTraverse(SqBiTree T, int e) {
    
    /* 左子树不空 */
    if (T[2*e+1] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+1);
    
    visit(T[e]);
    
    /* 右子树不空 */
    if (T[2*e+2] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+2);
}

Status InOrderTraverse(SqBiTree T) {
    
    /* 树不空 */
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        InTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

4.1.18 二叉树的后序遍历

void PostTraverse(SqBiTree T,int e) {   /* 左子树不空 */
    if(T[2*e+1]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+1);
    /* 右子树不空 */
    if(T[2*e+2]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+2);
    
    visit(T[e]);
}

Status PostOrderTraverse(SqBiTree T) {
    if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
        PostTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}

4.2 联试存储

4.2.1 结构定义

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

/* 存储空间初始分配量 */
#define MAXSIZE 100
/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Status;

typedef char ElementType;
ElementType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode  /* 结点结构 */
{
    ElementType data;        /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;

// 为了方便后续创建二叉树
int indexs = 1;
typedef char String[24]; /*  0号单元存放串的长度 */
String str;
Status StrAssign(String T, char *chars) {
    int i;
    if (strlen(chars) > MAXSIZE) {
        return ERROR;
    }
    else {
        T[0]=strlen(chars);
        for(i=1;i<=T[0];i++)
            T[i]=*(chars+i-1);
        return OK;
    }
}

4.2.2 打印数据

Status visit(ElementType e) {
    printf("%c ",e);
    return OK;
}

4.2.3 构造空二叉树T

Status InitBiTree(BiTree *T) {
    *T=NULL;
    return OK;
}

4.2.4 销毁二叉树

// 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 销毁二叉树T
void DestroyBiTree(BiTree *T) {
    if(*T) {
        /* 有左孩子 */
        if((*T)->lchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */
        
        /* 有右孩子 */
        if((*T)->rchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */
        
        free(*T); /* 释放根结点 */
        
        *T=NULL; /* 空指针赋0 */
    }
}

4.2.5 创建二叉树

// 按前序输入二叉树中的结点值(字符),#表示空树;
void CreateBiTree(BiTree *T) {
    
    ElementType ch;
    //获取字符
    ch = str[indexs++];
    
    //判断当前字符是否为'#'
    if (ch == '#') {
        *T = NULL;
    }
    else {
        //创建新的结点
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //是否创建成功
        if (!*T) {
            exit(OVERFLOW);
        }
        
        /* 生成根结点 */
        (*T)->data = ch;
        /* 构造左子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);
        /* 构造右子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);
    }
}

4.2.6 二叉树T是否为空

// 初始条件: 二叉树T存在;操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE
Status BiTreeEmpty(BiTree T) {
    if(T)
        return FALSE;
    else
        return TRUE;
}

4.2.7 二叉树T的深度

// 初始条件: 二叉树T存在; 操作结果: 返回T的深度
int BiTreeDepth(BiTree T) {
    
    int i,j;
    if(!T)
        return 0;
    
    //计算左孩子的深度
    if(T->lchild)
        i=BiTreeDepth(T->lchild);
    else
        i=0;
    
    //计算右孩子的深度
    if(T->rchild)
        j=BiTreeDepth(T->rchild);
    else
        j=0;
    
    //比较i和j
    return i>j?i+1:j+1;
}

4.2.8 二叉树T的根

// 初始条件: 二叉树T存在; 操作结果: 返回T的根
ElementType Root(BiTree T) {
    if (BiTreeEmpty(T))
        return Nil;
    
    return T->data;
}

4.2.9 返回p所指向的结点值

// 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点; 操作结果: 返回p所指结点的值
ElementType Value(BiTree p) {
    return p->data;
}

4.2.10 给p所指结点赋值为value

// 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点; 操作结果: 给p所指结点赋值为value
void Assign(BiTree p, ElementType value) {
    p->data=value;
}

4.2.11 前序递归遍历T

// 初始条件:二叉树T存在; 操作结果: 前序递归遍历T
void PreOrderTraverse(BiTree T) {
    if(T==NULL)
        return;
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
    PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}

4.2.12 中序递归遍历T

// 初始条件:二叉树T存在; 操作结果: 中序递归遍历T
void InOrderTraverse(BiTree T) {
    if(T==NULL)
        return ;
    InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}

4.2.13 后序递归遍历T

// 初始条件:二叉树T存在; 操作结果: 中序递归遍历T
void PostOrderTraverse(BiTree T) {
    if(T==NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树  */
    PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树  */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}