八.中值定理

作者: 傻疯子 | 来源:发表于2022-01-21 17:11 被阅读0次

1.涉及函数的中值定理

函数在定义域内闭区间连续

（1）有界与最值定理

有最大最小值

（2）介值定理

存在一点使函数值等于任何最大最小值之间的值

（3）平均值定理

存在一点的函数值等于定义域内函数值的平均值

（4）零点定理

两端函数值异号，存在一点使函数值等于0

2.涉及导数的中值定理

（1）费马定理

函数一点处可导并能取到极值，必有导数值等于0

（2）罗尔定理

函数在闭区间定义域内连续，开区间定义域内可导，定语域两端函数值相等，则存在一点使得导数等于0

（3）拉格朗日中值定理

函数在闭区间定义域内连续，开区间定义域内可导，存在一点使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

（4）柯西中值定理

函数在闭区间定义域内连续，开区间定义域内可导，放在下面的导数不为0，则
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{f'(\xi)}$

（5）泰勒公式

带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
点在某个邻域内n+1阶导数存在，则对任意点有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
$\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间

带佩诺亚余项的n阶泰勒公式
函数在一点处可导，则存在这点的一个邻域，对于该邻域内的任意点x有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

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